53. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа

Обоснуем известные правила вычитания числа из суммы и суммы

из числа.

П р а в и л о в ы ч и т а н и я ч и с л а и з с у м м ы . Чтобы

вычесть чи сло из суммы, достаточно вычесть это число из одного

из слагаем ых суммы и к полученно му результату прибавить другое

слагаемое.

Запише м это правило, используя символы:

Если а, Ь, с — целые не отрицательные числа, то:

а) при а > с имеем, что (а + Ь) — с = (а — с) + Ь\

б) при Ь ~^с имеем, что (а-\-Ь )— с = а -J-(А>— с);

в) при а ^ с и Ь ^ с можно использовать любую из данных

формул.

Пусть а ^ с , тогда разность а — с существует. Обозначим ее через

р: а — с = р. Отсюда а = /?-}-с. Подстав им сумму р + с вместо а

в вы ражение ( а + 6) — с и преобразуем его: (а-\-Ь) — с = { р -|-

+ с + Ь) — с = р + Ь + с — с = р-\-Ь .

Но буквой р обо значе на раз ность а — с, значит, имеем (а + fr)—

—с = (а — с)-\-Ь , что и требовалось доказать.

Аналогично проводятся рассуждения и для других случаев.

Приведем теперь иллюстрацию данного правила (случай «а»)

при помощи кругов Эйлера. Возьмем три конечных множества

А, В и С, такие, что п(А) = а, п(В) = Ь, п(С) = с ч Л [ " ) В = 0 ,

Cc zA. Тогда (а + Ь) — с есть число элементов множества (Л|_|В)\С,

а число (а — с) -J- Ь есть число элементов множества (/4\C)|JB- На

кругах Эйлера множество (ЛиВ )\С изоб ражается заштрихованной

областью, представленной на рисунке 97.

Л егко убедиться в том, что множество (Л \ С ) и ^ изобразится

точно Такой же областью. Значит, (А [}В)\С = (А\ С)[}В для данных

м нож еств А, В и С. Сл едовательно ,

п ((A UВ )\С )= п ((А \ С ) UВ) и (а + Ь ) -

- с = (а — с)-\-Ь.

Аналогично можно проиллюстри

роват ь и сл уча й «б».

П р а в и л о в ы ч и т а н и я и з

ч и с л а с у м м ы . Чтобы вычесть из

числа сумму чисел , достаточно вы

честь из этого числа послед оват ель-

140

Рис. 97

-

но каждое слага емое одно за другим ,

т. е. если а, Ь , с — целые неотрицательные числ а, то при с ^ 6 + с

имеем а - ( Ь - \ - с ) = (а — Ь) — с.

Обоснование этого правил а и его теоретико-множествен ная

иллю страция выполняются так же, как и дл я правил а вычитания

числа из суммы.

Приведенные правила рас сматриваются в начальной школе на

конкретных примерах, дл я обоснования привлекаются нагля дные

изображения. Эти правила позволяют рационально выполнять вы

числения. Например, правило вычитания из числа суммы л ежит в

основе приема вычитания числа по частям:

5 - 2 = 5 - ( 1 + 1 ) = ( 5 - 1 ) - 1 = 4 - 1 . = 3.

Смысл приведенных правил хорошо рас крывается при решении

арифметических з адач различными способами. Например, задач а

«Утром ушли в море 20 маленьких и 8 больших рыбачьих лодок.

6 лодок вернулись. Сколько лодок с рыб аками до лжно еще вернуть

ся?» может быть решена тремя способами:

/ способ. 1. 20 + 8 = 28

2. 2 8 - 6 = 22

II способ. 1. 20 —6 = 1 4

2. 14 + 8 = 22

III способ. 1. 8 —6 = 2

2. 20 + 2 = 22

Упражнения

1. Д ок ажите правил о вычитания суммы из числа и проиллюстри

руйте его при помощи кругов Эйлера.

2. Д окаж ите правило: чтобы из разнос ти двух чисел вычесть

третье число, доста точно из уменьшаем ого вычесть сумму двух

других чисел.-

,

3. Найдите наиболее рациональным способом значение вы ра

жения:

1) ( 374 8+ 10 39 2)-83 92;

2) 7273 - (396 + 1173);

3) 763 + 94 5 - 26 3 ;

4) 568 - 229 - 168.

4. Нижеприведенные за дач и решите разл ичными способами, дайте

обоснование:

1) В одной бан ке было 10 соленых огурцов, а в другой 6 огур

цов. З а обедом съели 4 огурца. Сколько всего огурцов осталось?

2) В гараж е стояло 20 машин, снач ал а выехало 7 машин, а

потом 3 машины. Сколько машин остало сь в гараже?

5. Решите нижеприведенные две зада чи и объясните, чем отли

чаются их решения:

1)

В одной бочке 40 ведер воды. Утром на поливку цветов и з

расходовали 12 ведер, а вечером 10 ведер. Сколько ведер воды

осталось в бочке?

2)

В одной бочке было 40 ведер воды, а в другой 12 ведер.

На поливку цветов израсходовали 10 ведер. Сколько ведер воды оста

лось в бочках?

з