52. Отношения «больше нал и «меньш е на»

При решении зад ач и в практической деятельности часто

требуется не только установить, что число а меньше (или больше)

числа Ь, но и узнать, на сколько число $ меньше (или больше)

числа Ь.

Како в смысл отношений «меньше на» и «больше на»?

Пусть а и Ь — целые неотриц ательные числа, такие, что а = п (Л),

Ь — п( В) , и установлено, что а < Ь . Это значит, что в множестве

В м ожно выделить собственное подмножество В », равномощное

множеству Л, и множество В \ В i не пусто. Пусть п (В \ В \) = с

( с Ф 0). Тогда в множес тве В элементов столько же, сколько в

множестве Л, да еще с элементов. В этом случае го ворят, что

число а меньше числа b на с или что число Ь больше числа

а на с.

Так как с = п { В \ В |), где

то с = Ь — а. Следовательно,

чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого,

надо из большего числа вычесть меньшее.

Рассмотрим, например, зада чу: «У школы посадили 4 дуба

и 9 лип. На сколько больше посадили лип?»

Согласно сформулирован ному правилу ответ на вопрос на хо

дится при помощи вычитания: 9 — 4 = 5 (л ип). Одна ко возникает

недоразумение: можно ли из 9 лип вычитать 4 дуба? Дел о в том,

что в данном случае из 9 лип вычитают 4 липы. Чтобы убедить

ся в этом, изобразим дубы кружками, а липы квадратиками

(рис. 95).

Чтобы ответить на вопрос задачи, выделим в множестве лип

подмножество Z |, равномощное множеству дубов (на рисунке

это множество показано фигурной скобкой). Тогда остальные липы

образуют дополнение множества Z\ до множества Z и их число

равн о разности 9 и 4.

Отношения «больше на» и «меньше на» встречаются и в за да

чах другого вида.

Рассмотрим, например, такую задачу: «У школы посадили 4 дуба,

а лип на 5 больше. Сколько лип посадили?»

В зад аче речь идет о двух множествах деревьев: множестве

дубов и множестве лип. Обозначим их D и Z. Известно, что

n(D ) = 4, а число элементов в множестве Z надо найти, зная,

что в нем на 5 элементов больше, чем в D. Последнее означает,

что n( Z ) — n{ D) = 5, откуда rt (Z) — 5 + л (0) = 5Ц-4 = 9. М ожно дать

более подробное пояснение, воспользовавши сь рисунком 95.

DO О о о

Г38

I .

Рис. 95

:

* □ □ □ □ □ □ 0 0 0

«о о о о О о

Рве. 96

Так как в мн ожестве 2 на 5 элементов больше, чем в

множестве D, то это значит, что в множестве Z столько же элементов,

сколько в D, да еще 5 элементов. Др угими словами, множество Z

можно расс матрива ть как объединение двух множеств Z\ и Zi ,

таких, что Z\ ~ D и п (Zz) = b. Поскольку множест ва Z\ и Zi не имеют'

общих элементов, то п ( Z ) = n (Z i[ }Zi) =n (Zi) + n {Zi) = A + 5 = 9.

Обратимся теперь к задаче: «У школы посадили 9 лип, а дубов

на 3 меньше. Сколько посадили дубов?»

В ней так же, как и в предыдущей, речь идет о двух м ноже

ствах: множестве лип (Z) и множестве дубов (D), но известно, что

rt (Z) = 9, а число элементов в мн ожестве D надо найти, зная, что

в нем на 3 элемента меньше, чем в Z. Последнее означает, что

n( Z ) — n( D) = 3, откуда п (D) = п (Z) —3 = 9 — 3 = 6.

Используя рисунок 96, решение этой зад ачи можно выполнить

так: поскольку дубов на 3 меньше, чем лип, то лип на 3 больше, чем

дубов, поэтому, удалив из множества Z подмножество, состоящее из

трех элементов, получим множество, равномощное множеству D.

п (D) = 9 —3 = 6.

Естественно, что в начальной школе при решении приведенных

в пункте зад ач объясн ение будет выглядеть иначе, но суть его от

этого не изменится.

Зам етим, что предложение «5 больше 2 на 3» нельзя запи

сать кратко, используя зна к « > » , поскольку для записи отношения

«больше на» (так ж е как и дл я отношения «меньше на») нет

специального знака. Зн ак « > » служит для обозначения отноше

ния «больше», а зна к « < » — отношения «меньше».

Упражнения

1. Объясните, почему нижеприведенные зад ачи решаются при

помощи сложения:

1) У Коли 7 марок, а у Саши на 3 марки больше. Сколько

марок у Саши?

2) В парке 8 голубых елок. Их на 2 меньше, чем берез.

Сколько берез в парке?

2. Объяснит е, почему следующие зада чи решаются при помощи

вычитания:

1) Таня нашла 9 грибов, а Л ида на 4 гриба меньше. Сколько

грибов нашла Ли да?

2) У школы посадили 4 дуба и 9 л ип. На сколько меньше по

садили дубов?

139

3)

У Нины 6 тетрадей, а у Коли 4. На сколько тетрадей

больше у Нины, чем у Коли?

3. Составьте 2 простые задачи, в которых рассматривалось бы

отно шение «меньше на» и решение записывало сь в виде раве н

ства 10 —2 = 8.

4. Состав ьте 2 простые зада чи, в которых рассматривалось бы

отношение «больше на» и задача реш ал ась при помощи сложения.