51. Вычитание

Рассмотрим задачу, которую решают первок лассники’

«Около школы посадили 8 деревьев — берез н рябин.. Берез 3.

Сколько рябин посадили около школы?»

Чтобы ответить на вопрос зад ачи, надо из 8 вычесть 3: 8 — 3 = 5.

Но как объяснить, почему здесь использовано вычитание чисел, а не

другое действие? Представим условие зад ачи наглядно, изобразив

к аж дое дерево, посаженное около школы, кружком (рис. 93).

Среди посаженных деревьев 3 березы — на рисунке выделим их,

зачеркнув кажд ый кружок, изображающий березу. Тогда остальные

деревья — рябины. Их столько, сколько будет, если из 8 вычесть

3, т. е. 5.

Видим, что решение данной за дачи тесно связано с выделением

из данного множества подмножества и нахождением числа элементов

в дополне нии этого подмножества, т. е. вычитание чисел ок азы

вается связанным с операцией дополнения подмножества.

О п р е д е л е н и е . Разностью целых неотрицательных чисел а и b

назы вается число элементов в дополнении м ножес тва В до м ноже

ства А при условии, что п ( А ) —а, п ( В ) = Ь и В с А :

а — Ь= п( А \ В), где а — п(А), Ь = п{ В) , В с :А

П р и м е р . Объясним, используя д анное определ ение, Что 7 — 4 =

= 3. 7 — это число элементов некоторого множества А, 4 — число

элементов множества В, которое является подмножеством множе

ства А . Возьмем, например, множества А = [х, у, z, t, р, г, s},

В = {дг, у, 2, /}. Найдем дополнение м ножества В до множества

А: Л \ В = {р, г, s}. Получаем, что п ( А \ В ) = 3. Следовательно,

7 - 4 = 3.

Очевидно, в качестве таких множеств А и В, что п( А) = 7,

п [В) = 4 и В а А, можно было выбрать множества, отличные от

рассматриваемых, поскольку разность а — Ь не зависит от выбора

множеств А н В, удовлетворяющи х условиям п( А) = а, п( В) = Ь и

B c zA .

Но всегда л и существует

O O O O O 8 S 0 0

Из того, что В сг А , сл едует,

Рис 93

135

что п ( В ) ^ п ( А ) . Знач ит, разнос ть а — b це

лых неотрицательных чисел а и Ь, таких, что

а = п( А), Ь = п( В) и Вс=Л, сущест вует

тол ько тогда, когда Ь ^ .а .

Действие , при полощ и которо го нахо дят

разность а — Ь, на зывается вычитанием ,ч ис

ло а — ум еньшаем ы м, чис ло Ь — вы чи тае

м ым.

Часто, чтобы проверить прави льность

в ыпол нени я действи я вы читания, мы обр а

щае м ся к сл ож ению. Почему? Очевидно

потому, что суще ствует связь м еж ду дейст

виям и в ычитания и сл ож ени я.

,

Пусть даны целые неотрицательные числа а и Ь, такие, что

а = п( А), Ь= п(В ) и Вс= Л, и пусть разность этих чисел есть число

элементов дополнения множе ства В до множества А, т. е. а — Ь=

= п ( А \ В ) .

На кругах Эйлера м ножества А, В, А \ В изо бра жаются так,

как на рисун ке 94. Известно, что Л = Ви(Л\.8), отк уда п(Л) =

— п (В и(Л\Ј)). Так как В П (Л \Ј) = 0 , то имеем п (А) — п ( ВЦ(А\ В)) =

— п (В) + п (А\ В) — Ь-\-(а — Ь). Сл едо ватель но, получа ем , что а =

= Ь-\-(а — Ь), т. е. разность а — b есть такое число, сумма которого

и чи сл а b равна числу а.

Установленный фак т дает возможность по-другому дать опреде

ление разност и.

О п р е д е л е н и е . Разностью целых неотрицательных чисел a n b

называется такое целое неотрицательное чиЈло с, сумма которого

и числа Ь равна а.

Мы показа ли, что из определения разности целых неотрица

тельных чисел как числа элементов дополнения одного множества

до другого вытекает ее определение через сумму. Можно доказа ть

и обратное утверждение.

Таким образом, a — b = c o a — b-\~c

/

Говорят, что действие вычитания является обратным сл ож е

нию.

Докажем, исходя из второго определения разности, следующие

теоремы:

Т е о р е м а . Разность целы х неотрицательных чис ел а и b сущ е

ствует тогда и только тогда, ко гда Ь ^ а .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если а = Ь, то а — Ь = \ ), и, следовательно,

разность а — Ь существует.

Если Ь<.а, то по определению отношения «меньше» существует

такое натуральное число с, что а= Ъ + с. Тогда по определению

разности с = а — Ь, т. е. разность а — Ь существует.

Если разность а — Ь существует, то по определению разности

найдется такое целое неотрицательное число с, что а = Ь-\-с. Если

136

' i

.

с = 0, то а = Ь\ если с > 0 , то b<La по определению «меньше». Итак,

Ь ^ а .

.

Т е о р е м а . Если разность це лы х неотрицательных чи сел а и Ь

существует, то она единственна.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что существуют два зн а

чения разности а — Ь: а — Ь=С\ и а — Ь = Съ. Тогда по определению

разности имеем а = 6 + С| и а = 6 + Сг. Отсюда следует b-\-C[ = b +

-\- с2 и, значит, С\ =Сг.

В на чальном курсе математики первоначальн о вычитание

целых неотрицательных чисел рассмат риваетс я на основе драктиче-

ских упражнений, связанных с выделением подмножества данного

множества и обра зованием нового множества — дополнения выде

ленного подмножества. При этом теоре тико-множ ественна я термино

логия и символика не используются. Главным средством раскры

тия теоретико-множественного смысла вычитания явл яется реше

ние простых задач .

Суть решения одной такой зад ачи пр оанализирована в начал е

пункта .

Связь вычитания со сложением устана вливаетс я при изучении

темы «Как найти неизвестное слагаем ое». Определение понятия

вычитания как действия, обратного сложению, в явном виде не

дается, но подчеркивается, что «вычитание связано со сложением:

вычесть из числа 40 число 16 — значит найти такое число, которое

При сложении его с числом 16 д а ет в сумме 40. Это число 24.

Зн ачит, 4 0— 16 = 24».

Упражнения

1. Д айте теоретико-множественное истолкование следующим

равен ствам: 1) 7 — 5 = 2; 2) 3 —3 = 0; 3) 4 —0 = 4.

2. В учебнике по математике дл я начальной школы приведено пр а

вило: «Для проверки вычитания к разности прибавляют вычитае-

. мое. Если решение правильное, то получится уменьшаемое». Каково"'*

теоретическое обоснование этого правил а?

3. Приведите примеры двух заданий из учебников по математ и

ке для начальных классов, при выпол нении которых используется

условие сущест вования разности целых неотрицательных чисел.

4. Объясните, почему ниж еприве денн ые задачи решаются при

помощи вычитания:

1) У пруда росло 9 осин. 4 осины спилили. Сколько осии ос

талос ь у пруда?

2) Вова и Л ида нарисовали 9 домиков. Лида нарисовала 4 доми

ка. Сколько домиков нарисовал Вова?

5. Составьте 3 зад ачи, решение которых записывается в виде

равенства 12 — 8 = 4. На основании какого теоретического положе

ния это возможно?

137