50. Отношения «равно» и «меньше»

Выясним, на какой теоретической основе происходит сравнение

чисел.

Пусть даны два целых неотрицательных числа а и Ь. С теорети

ко-множественной точки зрения они представляют собой число

элементов конечных множеств А и В: а = п( А) , Ь= п(В) . Если эти

множества равномощны, то им соответствует одно и то же число,

т. е. а = Ь. Приходим к определению:

132

Числа а и Ь равны, если они определяются равномощными

множествами:

а = Ь о А ~ В, где п( А) = а, t i(B) = b

Если множества А и В неравномощны, то числа, оп ределяе

мые ими, различны.

В том случае, если множество А равномощно собственному

подмножеству множества В и п ( А) = а, п ( В ) = Ь , говорят; что чис

ло а меньше числа 6, и пишут: а < Ь . В этой же ситуации говорят,

что b больше а, и пишут: Ь > а ,

а < Ь о - А ~ В\ , где B i c rB и В \ Ф В , В \ Ф 0

Из приведенных определений отношений «равно» и «мень ше»

исходят в начальной школе когда объясняют, что 2 = 2, 3 = 3, 2 < 3 ,

3 < 4 и т. д. Например, при введении записи 3 = 3 рассматр ивают

два равномощных множества квад рато в и кругов (рис. 91). При

изучении отношения 3 < 4 прово дятся'рассуж дения: возьмем три

розовых к ружка и 4 синих и кажды й розовый наложим на си

ний, видим, что синий кружок остался незакрытым, значит, ро

зовых кружков меньше , чем синих, поэтому можно записать:

3 < 4 .

Отметим еще, что если числа а и b определяются соответственно

множествами А и В (кружков, кв адратов, палочек и т. д.) и a<Zb,

то выделение в множестве В собственного подмножества, равно-

мощного множеству А, на практике происходит самыми ра злич

ными способами: на ложением, приложением, путем обра зования пар

и т. д. Это возможно, так как отношение а < Ь (так ж е как и отно

шение а = Ь) не зависит от выбора множеств А и В, таких, что

п ( А ) = а, п (В) = Ь, .важно только, чтобы А было равномощно соб

ственному Подмножеству множества В (а в случае равенства чисел А

равномощно В ) .

Изложен ный подход к опре делению отношения «меньше» имеет

ограниченное применение, он может быть использован для сравне

ния чисел в пределах 20, поскольку связа н с непосредственным

сравнением двух групп предметов.

Как же можно еще сра внивать целые неотрицательные числа?

Пусть а< .Ь в см ысле да нног о выше опре дел ени я.

Т огда а = п(А), Ь = п( В) и Л ~ В | , где В\ — собст

венное подмножество множест ва В (рис. 92). Так □ □

как В|С гВ, то В можно пре дст ав ить в виде об ъеди

нения множества В\ и его допо лнения В \ В ь Обозна-

чим это дополнение В\ (т. е. В \В \ = В\. Тогда В =

= В|ЦВ{ и, следоват ельно, п ( В ) = п (В\[) В[). По- Рис. 91

□

^

133

скольку множества В\ и В\ не пе

ресекаются, то по определению

А~В. суммы п {В) = п (В,) + л (В\) (*).

Но по условию В | ~ Л , значит,

п{ В\) — п{Я). Если число элемен

тов в множестве В\ обозначить

через с, то равенство (*) можно

зап исать в виде Ь= а-\-с , т. е.

из того, что а < Ь , следует, что 6 = а + с. Нетруд но убедиться и

в справедливости обратного утв ерждения.

Пришли к другому определению отношения «меньше»:

Число а меньше числа 6 тогда и только тогда, когда существует

такое натуральное число с, что а + с = 6.

Как, пользуясь этим определением, объяснить, что 3 < 7 ? 3 < 7 ,

поскольку существует тако е целое неотрицательное число 4, что

3 + 4 = 7.

Этот способ определения отношения «меньше» через сложение

та к же используется в начальном курсе математики. Об этом говорит

наличие пар записей 5 + 1 = 6 , 6 > 5 ; 7 + 1 = 8 , 7 < 8 .

Рассмотрим еще один способ сравнения чисел.

Пусть-а < Ь. Тогда про любое натуральное число х можно с казать,

что если х ^ а , то х < Ь . Это значит, что при а < Ь отрезок

натурального ряда N a явл яется собственным подмножеством отрезка

Nb. Справед ливо и обратное утверждение.

Таким образом, получаем еще одно определение отношения

«меньше»:

Число а меньше числа Ь тогда и только тогда, когда отрезок

натурального ряда N a является собственным подмножеством отрез

ка этого ряда N/,:

a < b o N aczNb и Na^ N t , .

Например, справедливость неравенства 3 < 7 с этих позиций м ож

но объяснить тем, что (1, 2, 3)с:{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Данная тракт овка понятия «меньше» позволяет с равнивать числа,

опираяс ь на знание их места в натуральном ряду.

Этот способ сравнения чисел так же используется в начальном

обучении математике: число, которое при счете встречается раньше,

всегда меньше числа, которое идет позднее.

Упражнения

1. Объясните тремя способами, почему: 1) 3 < 6 ; 2) 0 < 5 .

2. Используя определение отношения «меньше» через сложение,

докажите , что дл я любых натуральных чисел а, Ь, с справедливо

утверждени е: «Если а < Ь , то а + с < & + с».

134

3. Почему отношение «меньше* уп оряд очива ет множество целых

неотрицательных чисел, а отношение «непосредственно следо вать за»

нет?

4. Приведите примеры двух за дан ий из учебников математики

для начальных классов, в которых отношение «меньше» («больше»)

рассматрив ается с теоретико-множественных позиций.