49. Законы сложения

Изложе нный в предыдущем пункте подход к сложению целых

неотрицательных чисел позволяе т обосновать известные законы

сложе ния: переместительный и сочетательный.

Докажем сначал а переместительный закон, т. е. докажем , что

дл я любых целых неотрицательных чисел а и Ь выполняется раве н

ство а + 6 = 6 + а.

Пусть а — число элементов в множестве А, Ь — число элементов

в множестве В и А ( ] В = 0 . Тогда по определени ю суммы целых

неотрицательных чисел а + 6 есть число элементов объединения

множеств А и В: a-^-b — n (/4(JB). Но множество А[ ]В равно м ноже

ству В[]А согласно переместительному свойству объединения мно

жеств, и, значит, п {А и В ) = л (В1М). По определению суммы

п{В\ ]А) = Ь-\-а , поэтому а-\-Ь = Ь+ а дл я любых целых неотри

цательных чисел а и Ь.

Д ок аж ем теперь сочетательный закон , т. е. докажем , что для

любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с выполняется равенство

(а + 6 ) + с = а + (6 + с).

Пусть а = п (А), Ь— п (В), с = п (С), причем /4 ПВ = 0 , В Г) С = 0 

Тогда по определению суммы двух чисел можно запис ать (а + 6) +

+ c = rt(,4Ufl) + r t(Q = n((/4U fi)UQ-

Так как объединени е м нож ест в подчиняется сочетательному

130

'

:

.

закону, то п ((Л UB)LIC) = « HU(SIJC)) - Откуда по определению

суммы двух чисел имеем п (Л U(fiUQ)= ir « И ) + я (SUC) = a + (6 + c).

Следовательно, (a + fe)+ c = a + (ft + c) дл я любых целых неотри

цательных чисел а, Ь и с.

Каково на значение сочетательного за кона сложения? Он об ъ

ясняет, как можно находить сумму трех слагаемых: для этого доста

точно сло жить первое слагаемое со вторым и к полученному числу

прибавить третье слагаем ое или пр ибавить первое слагаемое к

сумме второго и третьего. Заметим, что сочетательный закон не

предполагает перестановки слагаемых.

г-

И переместительный и сочетательный за коны сложе ния могут

быть обобщены на любое число слагаемых. При этом переместитель

ный закон будет озн ачать, что сумма не изменяется при любой

перестановке слаг аемых, а сочетательный — что сумма не изменяется

при любой группировке слагаемых (без изменения их порядка).

Из переместительного и сочетательного законов сложения выте

кает, что сумма нескольких слагаемых не изменится, если их

переставить любым способом и если любую их группу заключить в

скобки.

Вычислим, используя законы сложения, значение выражения

109 + 36+191 + 6 4 + 27.

На основании переместительного зак она переставим слагаемые

36 и 191. Тогда 109 + 3 6 + 191 + 6 4 + 27 = 1 09+ 191 + 3 6 + 64 + 27.

Воспользуемся сочетательным законом, сгруппировав слагаемые,

а затем найдем суммы в скобках: 109 + 191 + 36 + 64 + 27 = (109 +

+ 191) + (36 + 64 )+ 27 = 3 00 + 100 + 27.

Применим еще раз сочетательный закон, заключив в скобки сумму

чисел 300 и 100: 3 0 0 + 1 0 0 + 27 = ( 3 00 + 1 0 0)+ 27.

Произведем вычисления: (300+1 00 ) + 2 7 = 400 + 27 = 427.

С переместительны м свойством сло жения учащиеся начальных

классов знако мятся при изучении чисел первого десятка. Сначала

оно используется при составлении таблицы сложе ния однозначных

чисел, а затем для рационализации различных вычислений.

Сочетательный закон сложе ния в начальном курсе математики

в явном виде не изучается, но постоянно используется. Так, он

явл яется основой приема прибавления числа по частям: 3 + 2 = 3 +

+ (1 + 1 ) = ( 3 + 1)+ 1 = 4 + 1 = 5 . Кроме того, в тех случаях, когда н а

до прибавить число к сумме, сумму к числу, сумму к сумме, сочета

тельный закон используется в сочетании с переместительным. Напр и

мер, прибав лять сумму 2 + 1 к числу 4 предла гается следующими

способами:

1) 4 + (2 + I) = 4 + 3 = 7;

3) 4 + (2 + 1 ) = 5 + 2 = 7.

Проа нализируем эти способы. В случае 1 вычисления выпол

нены в соответствии с указанным порядком действий. В случае 2

применено сочетательное свойство сложения. Вычисления ж е в по

следнем случае опираются на переместительный и сочетательный

5»

 13!

за коны сложения, причем промежуточные пр еоб разования опущены.

Они таковы. Сначала на основании переместительного закона пере

ставили местами слага ем ые 1 и 2: 4 + ( 2 -J- 1) = 4 + (1 + 2). За тем вос

пользовал ись со чет ате льным законом: 4 + ( 1 + 2) = (4 + 1) + 2. И ,н а

конец, произве ли вы чи сл ения со глас но пор ядк у действий (4 + 1) +

+ 2 = 5 + 2 = 7.

Упражнения

1. Выражение ( 4 + 5 ) + 6 преобразуйт е к виду 5 + ( 4 + 6), испо льзуя

законы сложения. Каж дый шаг в преобразо ваниях обоснуйте.

2. Выражение ( 7 + 2 ) + (3 + 8) преобразуйте к виду (7 + 3) + (2 + 8),

используя законы сложения.

3. Вычислите рациональным способом значение выражения и

объяс ните, какие законы сложени я были при этом использованы:

1) (30 + 7) + (10 + 4);

2) (16 + 9) + 21 + 14;

3) 1809 + 393 + 678+1 91 + 1607.

4. Найдите значение суммы дву мя способами: сна чал а используя

определение суммы нескольких слагаемых, а затем законы слож е

ния:

1) 2 73 + 1 2 27 + 15 4 + 446;

2) 372 + 4356 + 22 + 544;

3) 87 1+24 75 + 89 + 325.

5. Проанализиру йте содержание темы «Перестановка слагаемых»

в учебнике по математик е в начальных классах. На какой теоре

тической основе рассм атривается здесь переместительное свойство

сложения?

6. Являетс я ли доказательством переместительного зако на слож е

ния та кое рассуждение:

«2 + 1 = 1 + 2, 3 + 7 = 7 + 3 , 15+ 2 = 2 + 1 5 , следовате льно, от пе

ремены мест слагаемых сумма не изменяется»?

7. Решите зад ач у различными способами:

1) В колхозе было 8 грузовых машин и 2 легковые. Колхоз ку

пил еще 2 машины. Сколько всего машин стало в колхозе?

2) У малышей детского са да было 20 красных мячей и 10 зел е

ных. Им подарили еще 8 мячей. Сколько мячей стало у малышей?