§ 8. Понятие действий над целыми

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМ И

48. Сложение

Рассмот рим задачу, которую решают первоклассники: «Петя

нашел 4 гриба, а Нина — 3. Сколько всего грибов нашли ребята?»

Задача решается при помощи действия сложения: 4 + 3 = 7. Но как

объяснить, почему использовано сложение, а не другое действие?

Представим условие зад ачи наглядно, изобразив каждый гриб,

который нашел Петя, кружк ом, а кажды й гриб, найденный Ниной,

квадр атом (рис. 89). Чтобы ответить на вопрос зад ачи, надо к

грибам Пети добави ть (присоединить) грибы Нины, т. е. объединить

два множес тва грибов (рис. 90 ), и сосчитать, скол ько в этом

объединении оказалось элементов. Видим, что сложение целых

неотрицательных чисел оказ ывается тесно связа нным с операцией

объединения множеств.

Рассмотрим еще одну за дач у. Найдем число элементов в об ъ

единении множеств А = (а, Ь, с, d) и В — [с, х, у}. Нетрудно

установить, что п ( А ) = 4, п{В) — 3, А[ ]В = {а, Ь, с, d, х, у], но

п (Л Uв)=?Ј=4 + 3. Почему так?

Дело в том, что множества А и В в этой зад ач е пересекаются,

и, значит, число элементов в их объединении не совпа дает с

суммой п(Л) + л (й).

Поэтому сумму целых неотрицательных чисел определяют че

рез объединение непересекающихся множеств.

О п р е д е л е н и е . Суммой целых неотрицательных чисел а и Ь

называют число элементов в объединении непересекающихся мно

жеств А и В, таких, что п ( A ) = a , п (В) = Ь:

a + b — n (A (J В),

где п( А) = а, п(В) = Ь и Л Л 6 = 0

П р и м е р . Объясним, пользуясь данным определением, что

5 + 2 = 7. 5 — это число элементов некоторого м ножества А, 2 —

число элементов некоторого множества В , причем их пересече-

О О О О

□ □ □

Рис. 89

128

□ □ □

о о о о

Рис. 90

тние дол жно быть пусто. Возьмем, например, множества А = \ х, у,

z, /, р), в = {а, Ь]. Объединим их: А{]В*={х, у, z, t, р, а, 6(. Путем

пересчета устана вливаем , что п( А[ )В) = 7. Следовательно, 5 + 2 = 7.

t, В связи с рассмотренным примером может возникнуть вопрос:

а не за висит ли сумма чисел 5 и 2 от выбора непересекающихся

множеств А и В, таких, что л (Л ) = 5, п(В) = 2? Иными словами,

если взять другие непересекающиеся множества А\ и В\, но

удовлетворяющие условию л ( Л |) = 5 и п(В\ ) = 2, то не изменится

ли сумма 5 + 2? По всей видимости, нет.

Вообще сумма а + 6 не за висит от выбора непересекЭющихся

множеств Л и В, таких, что п (А) = а, п (В) = Ь. Это общее утвержде

ние мы примем без дока затель ства .

Кроме того, сумма целых неотрицательных чисел всегда сущ е

ствует и единственна. Другими словами, какие бы два целых неотри

цательных числа а и Ь мы ни взяли, всегда можно найти их сум

му — целое неотрицательное число с, оно будет единственным дл я 

данных чисел а и Ь. Существовани е и единственность суммы выте

кают из существован ия и единственности объединения двух мно

жеств.

Действие, при помощи которог о на ходят сумму, называют сл о

жением, а числа, которые складывают, называю т слагаемыми.

Выше нами было да но определение суммы двух слагаемых. А

как определи+ь сумму нескольких слагаемых?

Пусть сумма двух слагаемы х определена и определена сумма п

слагаемых. Тогда сумма, состоя щая из /г + 1 слагаемого, т. е. сумма

ai + <*2+ ...+ ап + а„+!» равна ( a i + a 2+ ... + а п> + а л+ 1.

Например, чтобы найти сумм у 2 + 7 + 1 5 + 1 9 согласно этому

определению, надо выполнить следующие преобразован ия:

2 + 7 + 1 5+ 19 = (2 + 7 + 15)+19 = ((2 + 7 ) + 1 5 ) + 1 9 =

= ( 9 + 15 )+ 19 = 2 4 + 19 = 43 .

В начальном курсе математики сложение целых неотрицател ь

ных чисел вводится на основе практических упражнений, связанных

с объединением двух множеств предметов (теоретико-множеств енная

терминология и си мволика при этом не используют ся). Главным

средством раскрытия теоретико-множественного смысла сложения

явл яется решение простых1 арифметических зад ач. Суть решения

одной такой задачи пр оанализирована в нач ал е пункта.

Упражнения

1. Объясните, используя определение суммы целых неотри цатель

ных чисел, что:

1) 4 + 1 = 5 ; 2) 2 + 7 = 9; 3) 1 + 5 = 6; 4) 3 + 0 = 3.

2. Как вы понимаете утверждение: «Сумма целых неотрицатель

ных чисел существует и единственна»?

1 Простыми задачами в методике обучения математике называются текстовые

задачи, которые реш аются rtpn помощи одного дей ствия.

5 Зона! 147

129

3. Учащимся даетс я за дание : «Составьте две задачи, которые ре

шаются так: 16 + 4 = 20». М ож но ли составить три зад ачи по этому

условию? пять зад ач? На основании какого теоретического положе

ния это возможно?

д

4. Запишит е число 1 в виде суммы двух целых неотрицатель

ных чисел двумя способам и.'

5. Сколькими способами м ожно запис ать число 2 в виде суммы

двух целых неотрицательных чисел?

6. Какие два числа можно сложить, чтобы получить в сумме число

3? Запиш ите все возможные случаи.

7. Как можно распр еделить 6 тетрадей между двумя учени

ками?

8. Как можно распределить 6 тетрадей м ежду дву мя учениками,

если к аж дый из них долже н получить хотя бы одну тетрадь?

Чем отлич ается э та задач а от зад ачи 7?

9. Исп ользуя определение суммы нескольких слагаемых, найдите

зна чение выражения: 1) 1 3 + 6 + 1 8 + 34 + 29; 2) 15 + 28 + 4 + 17 +

+ 36 + 1.

10. Объясните, почему нижеприведенные за дач и решаются сложе

нием:

1) По тропинке идут 4 утки и 6 гусей. Сколько всех птиц

идет по тропинке?

2) В пакет положили 3 груши и 8 яблок. Сколько фруктов поло

жили в пакет?