47. Теоретико-множественный смысл количественного

натурального числа и нуля

В предыдущем пункте было установлено, что счет служит как

для упорядочивания элементов конечного м ножества, так и дл я

определения их количества и что в общем случае порядковое число

ведет к количественному.

Смысл количественного числа можно истолковать иначе, с тео

ретико-множественных позиций, используя понятие равномощно-

сти множеств.

Возьмем какое-либо конечное множество А и отберем в один

класс все равномощные ему множества. Так, если А — множест

во вершин треугольника, то в один класс с ним попадут, на при

мер, такие множества: множест во сторон треугольника, множество

букв в слове «мир» и т. д.

Взяв какое-нибудь другое конечное множество В, неравно

мощное А, отберем все множе ства, равномощные В. В результате

получим новый класс конечных множеств.

Если продолжить этот процесс, то, в силу того, что отноше

ние равномощностн есть отношение эквивалентности, все конечные

множества окажутся распределенными по классам э квивалент

ности, причем любые дв а множества одного класса будут равн о

мощными, а любые два множества различных классов — нер ав

номощным и.

Что общего у всех множеств одного и того же класса? Они

имеют одинаковую мощность. Это общее свойство всех множеств

одного класса эквивалентности и считают натуральным числом.

Например, общее свойство множеств, равном ощных множеству

вершин треугольника, есть натуральное число «три», а общ ее свой-

126

ство множеств, равномощных мн ожеству сторон прямоугольника,

есть натуральное число «четыре».

Таким образом , с теоретико-множественных позиций количе

ственное натуральное число есть общее свойство клас са конечных

равномощных множеств.

Каждо му классу соответствует одно и только одно нату рал ь

ное число, каж дому натуральному числу — один и только один

класс равномощных конечных множеств.

Как известно, каждый класс эквивалентности однозначно опре

деляе тся за данием любого принадл еж аще го ему э л ем ен та— пред

ставителя этого класса. Значит, и каждый класс равномощных

множеств можно зад ать, у казав его представителя. Например,

класс множеств, равномощных множеству вершин треугольника и

определяющий натурал ьное число «три» можно задать , ук азав мно

жество А = [к, I. т]. Следовательно, множество А определяет нату

ральное число «три».

Вообще каждом у конечному множеству А соответствует одно

и только одно натуральное число а = п{А), но каждому натураль

ному числу а соответствуют различные равномощные множества

одного класса эквивалентности. Поэтому числу «пять» будет соот

ветствовать и множество сторон пятиугольника, и множество его

вершин, и множест во букв в слове «танец» и др.

Число «нуль» та кже имеет теоретико-множественное истолко

вание — оно ставится в соответствие пустому множеству: 0 = п ( 0 ) .

В начальном курсе математики количественное натуральное

число рассматривается как общее свойство класса конечных рав

номощных множеств. Поэтому, когда учащие ся изучают число

«один», на странице учебника приводятся изо браж ения одного пред

мета: одно ведро, одна девочка, один стол и т. д.; когда изучают

число «три», на странице учебника приводятся изображени я р аз

личных совокупностей, со держ ащих три элемента: три кубика,

три камешка, три палочки и т. д. Так происходит при изучении

всех чисел первого де сятка, но число элементов в множестве опре

деляется путем пересчета. Таким образо м, количественное и по ряд

ковое натуральное число выступает в начальном обучении в тес

ной взаи мосвязи, в единстве.

Упражнения

1. Приведите примеры таких различных множеств А и В, что

п ( А ) = п (В )=7. В каком отношении нахо дят ся мн ожества Л и В?

2. Каков теоретико-множественный смысл натурального числа

«пять»?

3. Рассмотрите иллюстрации и записи, приведенные на той

странице учебника по математике дл я I класса, где учащиеся изу

чают число «три». Объясните, какие из них приведены с целью

раскрыть учащимся порядковое и количественное значение числа

«три».

127

Как ие бы Вы добавили иллюстрации с этой ж е целью?

4.

Приведите примеры заданий из учебников математики дл я

начальных классов, в которых число выступает как: 1) порядковое;

2) количественное.