46. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет
Как вам известно, на турал ьным и числами назы ваются числа
которые употребляются при счете предметов.
1 М о и с е е в Н. Н. Математ ика ставит эксперимент.— М., 1979.— С. 12.
1 Слово «арифмети ка» происходит от греческого aritlimos, что значит «число»
С ле довател ию , зрифметикя — это ипука о числе
3 Подробн ее о развитии арифметики можно прочнтль, например, в книгах
Энциклопедический словар ь юного математика / Сост. А П Сави н.— М., 1985
С. 26—29; Д е л м а й И. Я. Истори я ари фметики.— М.. 19hf> (и ар. издания)
124
А
что предста вляет собой процесс
счета? Как мы, например,
должны вести счет элементов множеств а A = {k, I, т, г)? Ук азыва я
на каждый элемент этого м ножества, мы говорим: «первый»,
«второй», «третий», «четвертый». И на этом процесс счета заканчи
вается, та к как использованы все элементы множества А. Ведя
счет, мы соблюдаем ря д правил: первым при счете может быть ук а
зан любой элемент множества А, но ни один элемент не должен быть
пропущен и сосчитан два жды.
Сосчитав элементы множества А , мы говорим, что в множестве
А четыре элемента, т. е. получаем количественную характеристику
этого множества. Но чтобы ее получить, мы использовали порядко
вые на туральные числа «первый», «второй», «третий», «четвертый».
Другими словами, мы использовали множество {I, 2, 3, 4), которое
называю т отрезком на турального ряда.
О п р е д е л е н и е . Отрезком N a на турал ьног о ряд а на зывается
множество на туральных чисел, не превосходящих натурального
числа а.
Например, отрезок Л/4 есть множество натуральных чисел 1, 2,
3, 4.
Из определения вытекает, что отрезок N a натурального ря да
состоит из всех таких натуральных чисел х, что
того, любой отрезок N a при а > 1 сод ержит I.
Кроме
Введенное определение отрезка натурального ряда позволяет
уточнить понятие счета элементов множества. Но прежде заметим,
что в процессе счета элементов мн ожества A = [ k, I, т, г} каждому
элем енту этого м ножества было поставлено единственное число
из отрезка N \, т. е. было установлено взаимно однозначное соответ
ствие между множеством А и отрезком N\ натурального ряда.
О п р е д е л е н и е . Счетом элементов м ножества А называется
установление взаим но однозначного соответствия между множеством
А и отрезком натурального ряда N a.
Число а называют числом элементов в множестве А и пишут:
п( А ) = а. Это число а единственное и является количественным
натуральным числом.
Таким образом, при пересчете элементы конечного множества
А не только расставляются в определенном порядке (при этом исполь
зуются порядковые натуральн ые числа, выражаемые числитель
ными «первый», «второй», «третий» и т. д.), но и устана вливается
также, сколько элементов сод ержит множество А (при этом исполь
зуются количественные на туральные числа, выраж аемые числитель
ными «один», «два», «три» и т. д.).
Анализ сущности счета показывает — д ля того чтобы считать,
необходимо заранее иметь достаточный запас чисел, причем числа
должны обл ада ть рядом свойств: располагаться в определенном
порядке, дол жно существовать первое число и т. д.
Тесная связь порядкового и количественного числа на шл а от ра
жение и в начальном обучении математике. С этими сторонами
числа учащиеся знак ом ятся уже при изучении чисел первого дес ят
125
ка.
Происходит это при счете элементов
различных множеств. Ответ
на вопрос: «Сколько предметов содержит данное множество?» —
выражается количественным натуральным числом, а порядковое
число ука зывает, какое место при счете занимает тот или иной
предмет, и отвечает на вопр ос: «Которым -по счету будет данный
предмет?»
Упражнения
1. За пишите все элементы множеств N s, N l0. Как называются
эти множества?
2. М ож но ли на звать отрезком натурального ряда множество:
3. Сформулируйте условия, которые необходимо соблюдать, ведя
счет элементов конечного множества.
4. Прочитайте предложени я: п ( А ) = 7, п { В ) = 2. В какой роли
здесь выступают на туральные числа 7 и 2? Придумайте множества
А и В, удовлетворяющие данным условиям.