§ 7. Понятие числа
45. Об истории возникновения понятий
натурального числа и нуля
Числа 1, 2, 3, 4, ... называю тся натуральными.
Понятие натурального числа явл яетс я одним из основных понятий
математики. Возникло оно, как и вся наука математика, из потреб
ностей практической деятельности людей. Складывалось оно посте
пенно в процессе решения все усложняющихся задач сна чала прак ти
ческого, а затем и теоретического хара ктера . Причиной, которая
привела человека к создани ю натуральных чисел, является необхо
димость сра внивать различные конечные множест ва между собой.
В своем развитии понятие натурального числа прошло несколько
этапов. В глубокой древности, чтобы сравн ить конечные множества,
устана вливали взаим но однозначное соответствие между данными
множествами или между одним из множеств и подмножеством
другого м ножества, т. е. на этом этапе человек воспринимал числен
ность множества предметов без счета их. Например, о численности
группы из пяти предметов он говорил: «Столько же, сколько паль
цев на руке»; о множестве из два дцат и предметов: «Столько же,
сколько пальцев у человека». Такой метод обладал тем недостатком,
что сравниваемые множества должны быть одновременно обозримы.
В результате очень долгого периода развити я человек пришел к
следующему этапу созд ания натуральных чисел — дл я сравне ния
множеств стали применять множества-посредники: мелкие камешки,
раковины, пальцы. Эти множества-посредники уж е представляли
собой зача тки понятия натурального числа, хотя и на этом эта пе
число не отделялось от сосчитываемых множеств: речь шла о пяти
камешках, пяти па льцах, а не о числе вообще. Назван ия множеств-
посредников стали исполь зовать дл я определения численности
множеств, которые с ними сравн ивались. Так, у некоторых племен
численность множе ства, состоящего из пяти элементов, обозначалась
словом «рука», а численность множества из 20 предметов — словами
«весь человек».
Только после того как человек научился оперировать множества
ми-посредниками, установил то общее, что существует, например,
123
между
пятью пальцами и пятью яблоками, т.
е. когда произошло
отвлечение от природы элементов множеств-посредников, возникло
представление о натуральном числе. На этом этапе при счете, на
пример, яблок перечислялись уже не одно яблоко, два яблока и т. д.,
а прого варивали слова «один», «два», <<tpn» и т. д. Это был
важнейший этап в развитии понятия числа. Вот как об этом го
ворил крупнейший математик современности Н. Н. Лузин: «Мы
дол жны склониться перед гением Человека, создав шего (не открыв
шего, а именно созд авшего) понятие единицы. Возникло Число,
а вместе с ним возникла М атемати ка. Идея Числа — вот с чего
начи нал ась история величайшей из наук»1.
Со временем люди научились не только называть числа, но
и обозначать их, а та кже выполнять над ними действия. Многие
трудности в решении этих проблем были преодолены с созданием
в Древней Индии десятичной системы записи чисел и понят ия нуля.
Постепенно сло жилось и представление о бесконечности мно
жества натуральных чисел.
После того как понятие натурального числа сформи ровалось,
числа стали самостоятельными объектами и по явил ась возможн ость
изучать их как математические объекты. Наука, которая стала
изучать числа и действия над ними, получила название «ариф
метика»2.
Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавил о
не, Китае, Индии, Египте. Накопленные в этих стр анах м атема
тические зна ния были развиты и продолжены учеными Древней
Греции. В средние века большой вклад в развитие арифметики
внесли математики Индии, стран арабског о мира и Средней Азин,
а начиная с XIII века — европейские ученые^.
Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый
А. Боэций (ок. 480—524 гг.).
В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над
ними изучаются разделом математики, носящим на звание «теория
чисел».
В XIX веке внимание ученых было обращено на построение и
логическое обоснование математических теорий натурального числа,
т. е. тех теорий, которые л еж ат в основе вычислений с натур аль
ными числами.