44. Равномощные множества

Два множества могут находиться в различных отношениях:

они могут пересекаться, могут не пересекаться, могут быть равными,

одно может быть подмножеством другого.

Понятие взаимно однозн ачного соответствия между м ножест

вами позволяет ввест и еще одно отношение м ежду множествами —

отношение равномощности.

Множества X и Y считают равномощными, если между ними

существует взаимно однозначное соответствие.

Предложение «Множ ество X равномощно множеству Y» запи

сы вают кратко: X ~ Y .

Например, если Х = [а, Ь, с, d, е}, a Y = [x, у, z, /, р}, то

Y, так как между множествами X и У можно установить взаимно

однозначное соответствие.

Отношение равномощности множеств об ладает рядом свойств.

1. Оно рефлексивно, т. е. каждое множество равномощно са

мому себе: Х ~ Х .

2. Оно симметрично, т. е. X ~Y =>Y~X.

3. Оно тра нзитивно, т. е.

и Y ~Z=s-X ~ Z .

Так как отношение равномощности множеств рефлексивно, сим

метрично и транзитивно, то оно является отношением э квива

лентности.

Равномощными могут быть как конечные, та к и бесконечные

множества.

Если множества X и Y конечны и между ними установлено

взаимн о однозначное соотве тствие, то говорят, что данные множест

ва содержа т поровну элементов, или что они равночисленны, или

что в множестве X столько же элементов, сколько их в множестве Y.

Рассмотрим два бесконечных множества: множество N нат ураль

ных чисел и множество Y четных на туральных чисел. Поставим

в соответствие натуральному числу п четное число 2п (рис. 87).

Это соответстви е взаимно одно знач

ное: каждому натуральном у числу

соответст вует единственное четное

число и каж дое четное число со-

/ 2 3

п

ответствует единственному натураль-      

ному числу. Зн ачит , Y, т. е. I l l

I

множество на туральных чисел и

1 i i

I

его подмножество четных чисел рав- # #

номощны.

2 4 6    / >   

Аналогично можно показать, что 14-------------------- *------------------ *

множ еств о N натураль ных чисел рав-

Рис. 87

121

номощно подмножеству нечетных чисел.

Полученные факты отраж аю т особые

сво йства бесконечных м ножеств. В мире

бесконечного изменяются привычные отно

шения целого и часФи. Здесь, оказывается,

часть м нож ества может быть рав.чомощна

всему множеству.

Чтобы еще раз в этом убедиться, до-

кажем, что множество точек отрезка АВ

равномо щно множеству точек отрезка CD

(рис. 88). Отрезки А В и CD имеют раз

личную длину.

Через точки А и С, В и D проведем

прямые до пересечения их в точке S. Соответствие м ежду множест

ва ми точек отрезков АВ и CD устано вим следующим образом:

точке М отрезка А В поставим в соответствие так ую точку М\

отрезка CD, которая лежит с точкой М на прямой SM . Нетрудно

убедиться в том, что установленное соответствие взаимно одно

значное. Значит, множество точек отрезка CD равно мощно м ножест

ву точек отрезка А В.

Не надо думать, что все бесконечные множества равномощны

м ежду собой. Например, не равномощны множество натуральных

чисел и множество точек на прям ой1.

Упражнения

1. Приведите примеры трех множеств, равномощн ых множеству

А Г = { а , Ь, с].

2. Док аж ите, что: 1) Х~Л'; 2)

3) X ~ Y и Y ~ Z ^ X ~ Z .

3. Сформулируйте свойства отношения раве нства множеств.

Является ли оно отношением эквивалентности?

4. Какими свойствами обл ада ет отношение включения дл я мно

жеств? Верно ли, что оно яв ляется отношением поряд ка?

5. Докажите, что множество четных натуральных чисел и мно

жеств о нечетных натуральных чисел равномощны.

6. Р авномощно ли м ножество на туральных чисел, кратных 5,

множеству N натуральных чисел?

7. Выделите из мн ожества N натуральных чисел три по дмноже

ства, равномощных множеству N.

8. Д ок аж ите, что м ножества, о которых идет речь в следующих

задачах, равномощны: 1) Зап иши все двузна чные числа, которые

меньше чем 20. Увеличь каждое из них в 5 раз. 2) Запиши

все четные однозначные числа и увеличь к аж дое из них в 3 раза.

Какие получились числа: четные или нечетные?

9. По каж ите с помощью рисунка, что решение к аж дой из зад ач

связано с выделением равномощных множеств: 1) В одном цехе

1 О свойствах бесконечных множеств можно прочитать в кяиге: В и л е н

к и н Н. Я. Расск азы о множ ествах.— М.. 1969.

122

10 станков, а в другом — на 4 ста нка больше. Сколько станков в

другом цехе? 2) У Маши 9 маков, а у Риты на 2 меньше. Сколько

маков у Риты? 3) Юннаты вырастили 15 цыплят, а утят в 3 раза

меньше. Сколько утят они вырастили? 4) Д л я детского сада купили

4 зеленых мяча, а красных в 3 ра за больше, чем зеленых. Сколько

красных мячей купили детям?

Г л ав а II

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИС ЛА