42. Соответствие, обратное данному

Пусть R — соответствие «больше» между элементами множеств

Я = (3, 5, 7) и У= {4, 6). Тогда R = {(5, 4), (7, 4), (7, 6)) и г раф этого

отношения будет таким, как на рисунке 80, а.

Заменим направление стрелок этого граф а на обратное. Получим

граф нового соответствия «меньше» (рис. 80,6) , которое расс матри

вается между множествами У и X и определяется множеством пар

Соответствие, граф которого изобра жен на рисунке 80,6, назы

вается соответствием, обратным да нному соответствию R, и обозна

чается символом R ~ \

В общем виде соответствие, обратное данному соответствию R,

опред еляют так:

О п р е д е л е н и е . Пусть R — соответствие между элементами

множеств X и Y. Соответствие R ~ l между элементами множеств

Y и X наз ывается обратным данному, если у R ~' x тогда и только

тогда, когда xRy.

Соответствия R и /?_ | называют взаимно обратными. Выясним,

каковы особенности графиков взаимно обратных соответствий.

Построим график соответствия = ((5, 4), (7,4), (7,6)) (рис. 81).

При построении граф ика соответствия R~ —{(4, 5), (4, 7), (6, 7))

мы должны первую компоненту пары выбирать из множества

У, а вторую — из множества X. В резу льтат е график соответствия

R ~ ' совпадает с графиком соответствия R , а это не очень удобно.

Чтобы разл ичать графики соответствий R и R ~ l, условились пер

вую компоненту пары соответствия R ~ * считать абсциссой, а вто-

Рнс. 80

116

Рис. 81

рую — ординатой. Например, если (5, 4) Ј/? , то (4, 5) 6 / ? ~ '. Точки

с координатами (5, 4) и (4, 5) , а в общем сл учае (л:, у) и (у, х) сим

метричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Следовательно, гр афик соответствия R ~ \ обратного соответ

ствию R, состоит из точек, симметричных точкам г рафика соотвёт-

ствия R относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Поэтом у графиком соответствия / ? ~ '= ( ( 4, 5), (4, 7), (6, 7)} будет

множество точек, изобра женных на рисунке 81,6.

Если R — отношение между элементами одного множества, то

отношение

обратно е данному, определяется такж е, как и дл я

соответствий, т. е. пара элементов (у, х) только тогда находится

в отношении R ~ \ когда па ра (х, у) находится в отношении R.

Например, если R — отнош ение <tx меньше у», заданное на

множестве натуральных чисел, то обратным ему будет отношение

«у больше х». Д л я отношения между отрезками «х длиннее у» об

ратным будет «у короче х».

В начальном обучении математик е взаимно обратным отношениям

уделяется много внимания. Учащиеся должны хорошо понимать,

что если 5 > 3 , то 3 < 5 , если отрезок А В короче отрезка CD, то

отрезок CD длиннее отрезка АВ. Особую роль играет знание взаим о

связи между отношениями при решении текстовых за дач. Например,

учащийся правильно решит зада чу «Стол стоит 15 р., это в 10 раз де

шевле шкаф а. Сколько стоят стол и шкаф вместе?» только при усло

вии понимания того фак та, что если стол дешевле шк афа в 10 раз,

то шкаф дорож е стола в 10 раз.

Упражнения

1. Множество Р = [(1, I). (3, 0), (3, 1), (4, 0), (4, 1), (6, 1)} пред

ставляет собой соответствие между элементами множеств X =

= {1, 3, 4, 6} и Y — (0, 1}. За дайт е соответствие Р ~ \ обратное со

ответствию Р, и постройте в одной системе координат графики

соответствий Р и Р ~ 1

2. На множестве Х={0, 2, 4. 6, 8, 10) зад ано отношение Г —

117

«число х меньше числа у на 2». Зада йте отношение Т ~ х и постройте

его график на координатной плоскости.

3. Между множеством X — углов треугольника A B C и м ножест

вом У — сторон в нем зад ан о соответствие Р — «угол х лежит

против стороны г/». За дай те соответствие Р _ | , обратное соответ

ствию Р, при помощи: 1) предложения с двумя переме нными;

2) графа.

4. Даны графики соответствий R и Q (рис. 82 ). Можно ли

утвер ждать , что соответствия R и Q взаим но обратные?

5. Постройте графики соответствий, обратных данным (рис. 83) .

6. На множестве отрезков рассматрив аются отношения «длин

нее», «длиннее в 3 раза» , «длиннее на 5 см». Как задат ь отноше

ния, обратные данным?

7. Нижеприведенные задачи взяты из учебников математики

дл я начальны х классов. Реш ите их и объясните, какие отношения

ра ссматривалис ь в процессе решения:

1) Длина каранда ша 15 см. Он на 1 см длиннее ручки. Чему

равна длина ручки?

2) В па рке 8 голубых елок. Их на 2 меньше, чем берез. Сколько

берез в пар ке?

3) Самолетов б, их в 2 раза больше, чем вертолетов. Во сколько

раз меньше вертолетов, чем самолетов? Сколько вертолетов?

Рис. 82

118

4) Начерти два отрезка: дл ина первого 6 см, он в 2 раза длин

нее второго. Чему равна длина второго отрезка ?

5) Кухонный стол стоит 24 р., в 6 раз дороже , чем табуретка .

Сколько стоит та буретк а?