40. Отношение порядка

Слово «порядок» мы употребляем часто как в обыденной жизни,

так и на заняти ях по математике. Мы говорим о порядке поступле

ния на работу, о порядке слов в предложении; на уроках мате

матики обсуждаем порядок выполнения действий, порядок записи

решения уравнения, задачи и т. д.

Что же такое порядок?

Обратимся к нескольким примерам.

1) Чтобы установить порядок в множеств е учащихся класса,

достаточно выстроить их по росту. На практике эта процедура

сводится к сравнению пар учащ ихся, т. е. на множестве учащ ихся

рассматривается отношение «быть выше». Это отношение антисим

метрично и транзитивно.

2) Множество учащих ся класс а можно упорядочить и по воз

расту, т. е. задав отношение «быть старше». Заметим, что это

отношение та кже антисимметрично и транзитивно.

3) Всем известен порядок следования букв в русском алфа

вите. Его обеспечивает отношение «следует», облад аю щее свойст

вами антисимметричности и транзитивности.

Замеченные нами свойства отношений, устана вливающих неко

торый порядок в множестве, и легли в основу определения от

ношения порядка.

О п р е д е л е н и е . Отношение R на множестве X называется

отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично.

Множество X с заданным на нем отношением порядка называется

упорядоченным множеством.

Множество Х = {2, 8, 12, 32) можно упорядочить при помощи

отношения «меньше» (рис. 69, а ), а можно это сделать при помощи

отношения «кратно» (рис. 69, б). Но, являясь отношениями порядка,

отношения «меньше» и «кратно» упорядочивают множество нату

ральных чисел по-разному. Отношение «меньше» позвол яет ср ав

нивать два любых различных числа из множест ва X, а отношение

«кратно» таким свойством не обладает. Например, пара чисел

Рис. 69

110

8 и 12 отношением «кратно» не связан а: нельзя ск аза ть, что

8 кратно 12 либо 12 кратно 8.

Не следует дум ать, что все отношения де лятся на отношения

эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное число

отношений, не являю щихся ни отношениями эквивалентности, ни

отношениями порядка.

Уже в I классе учащиеся знакомятся с отношениями «больше»

и «меньше» дл я натуральных чисел. Зат ем поя вляются отношения

«длиннее» и «короче» дл я отрезков. При помощи этих отношений

устанавливается порядок в множестве чисел и в множестве “отрезков.

Упражнения

1. X — множество отрезков. Какие из следующих отношений

явл яются отношениями порядка на этом множестве: 1) «л: равно у»;

2) «х длиннее у »; 3) «х короче у на 2 см»; 4) «х длиннее

у в 3 раза».

2. На множестве Х = {3, 6, 9, 12, 15) задано отношение

«х — делитель у». Пок аж ите, что это отношение упорядочи вает

множество X. Чем этот порядок отличается от того, который ус

та навливае тся в множестве X при помощи отношения «больше»?

3. Упорядочивает ли множество X (см. упр. 2) отношение

«меньше или равно»? Постройте гр аф этого отношения.

4. Упорядочивает ли множество на туральных чисел отно шение

«следовать за»? А отношение «непосредственно следов ать за»?

5. М — множество окружностей на плоскости, R — отношение

«окружность х л еж ит внутри окружности у». Упорядочивает ли

данное отношение мн ожество М?

6. Можно ли упорядочить множество прямых плоскости при по

мощи отношений: 1) «прямая х пересекает прямую у»; 2) «прямая

х перпендикулярна прямой у»?