
- •§ 1. Математические поняти я
- •1. Введение
- •2. О бъем и содерж ание понятия
- •3. Опред еление понятий
- •4. Требования к определ ению понятий
- •§ 2. Математичес ки е предложени я
- •5. Элем ентарные и составные предлож ения
- •6. Высказывания. Смы сл слов «и», «или», «не»
- •7. Высказывательны е форм ы
- •8. Смысл слов «все» и «некоторые»
- •9. Правила построения отрицаний высказываний,
- •2) Квантор общ ности (сущ ествования) заменяется квантором
- •10. Отнош ения следования и равносильности меж ду
- •11. Необходим ые и достаточные условия
- •12. Струк тура теоремы . Виды теорем
- •§ 3. Математичес ки е д о казательс тва
- •14. Простей шие схемы дедуктивных рассуждений
- •15. Неполная индукция
- •16. С пособы доказательства истинности высказываний
- •§ 4. Те ксто вые за д ачи и их реш ени е
- •18. Способы решения текстовых задач
- •19. Этапы решения задач арифметическими способами.
- •20. Приемы поиска плана решения задачи и его выполнение
- •21. Приемы проверки реш ения задачи
- •22. Решение задач алгебраическими способами
- •§ 5. Множества и операции над ни ми
- •23. Понятия множества и элемента множества
- •24. Способы задания множеств
- •25. Отношения меж ду множествами
- •26. Множества и понятия
- •27. Пересечен ие множеств
- •28. Объединение множеств
- •29. Законы пересечения и объединения множеств
- •30. Дополнение подмножества
- •31. Понятие разбиения множества на классы
- •32. Некоторые задачи, связанные с операциями
- •33. Декарто во умно жение множеств
- •34. Изображе ни е декартова произведения двух числовых
- •35. Некоторые задачи, связанные с декартовым умножением
- •§ 6. Отн ош ен ия и соотве тствия
- •36. Понятие отношения
- •37. Способы задания отношений
- •38. Свойства отношений
- •39. Отношение эквивалентности
- •40. Отношение порядка
- •41. Понятие соответствия
- •42. Соответствие, обратное данному
- •43. Взаимно однозначные соответствия
- •44. Равномощные множества
- •§ 7. Понятие числа
- •45. Об истории возникновения понятий
- •46. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет
- •47. Теоретико-множественный смысл количественного
- •§ 8. Понятие действий над целыми
- •48. Сложение
- •49. Законы сложения
- •50. Отношения «равно» и «меньше»
- •51. Вычитание
- •52. Отношения «больше нал и «меньш е на»
- •53. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа
- •54. Умно жение
- •55. Законы умноже ния
- •56. Деление
- •57. Отнош ения «больше в» и «меньше в»
- •58. Правила деления суммы на число и числа
- •59. Дел ение с остатком
- •60. Свойства множества целых неотрицательных чисел
- •§ 9. Смы сл натурального числа и действий
- •61. Сравнение отрезков. Действия над отрезкам и
- •63. Смысл сложения и вычитания чисел,
- •64. Смысл ум ножения н деления чисел,
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел
- •66. О возникновении и развитии способов записи
- •67. О записи чисел в Древней Руси
- •68. Сло жение многозначных чисел
- •69. Вычитание многозначных чисел
- •70. У множени е многозначных чисел
- •72. Запись чисел в позиционных системах счисления,
- •73. Действия над числами в позиционн ых системах счисления,
- •§ 11. Д ел им ость ц елы х нео трицательных чисел
- •74. Понятие отно шени я делим ости
- •75. Свойства отно шения делим ости
- •76. Делимость сумм ы, разно сти и про изведения
- •77. Признаки делимости чисел
- •78. Наибольш ий об щий делитель
- •79. Признаки делимости на составные числа
- •80. Н ахож дение наиб ольш его общего делителя
- •81. Алгоритм Евклида
- •Глава I II
- •§ 12. Полож ительны е рац иональные чи сл а
- •82. Понятие дро би
- •83. Понятие по ложительного раци онал ьно го числа
- •85. Умно жение и деление
- •86. Упорядоченность м ножества положитель ных
- •87. Запись положите льных рациональных чисел
- •8 8. Б е с кон ечны е д е с ятичн ы е п е р и о д и ческ ие д р о б и
- •§ 13. Действительн ые числ а
- •89. Понятие положительно го иррационального числа
- •Глава IV
- •§ 14. Ч исловые р авен ства и нера венства
- •§ 15. Ура вне ния и неравенств а
- •§ 16. Функции
- •Глава V
- •§ 17. П о н я ти е величи ны и ее и з м ер ен и я
- •§ 18. Длина, п л о щ а д ь, м асса, вр емя
- •Глава I. Общие понятия математики
- •§ I. Математические п о н я ти я ......................................................................—
- •§ 2. Математические предло жения................................................................
- •§ 3. Математические доказательства.......................................................... 32
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение................................................................ 43
- •§ 5. Множества и операции над н и м и .......................................................... 61
- •§ 6 Отношения и соот ветствии...............................................
- •Глава II. Целые неотрицательные ч и с л а .......................................................... 123
- •§ 7 Понятие ч и с л а ........................................................................................—
- •§ 8. Понятие действий над целыми неотрицательными числами . . . .
- •§ 9. Смысл натурального числа и действий над числами — результатами из
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действии над
- •Глава III . Расширение понятия ч и с л а ...................................
- •§ 12. Положительные рациональные числа . . .
- •Глава V. Величины и их изм ерения...................................................................... 277
- •§ 17. Понятие величины и ее и змер ения..........................................................278
- •§ 18. Длина, площадь, масса, в р е м я .......................................................... ....287
39. Отношение эквивалентности
и
* X [ 1 1 1 2 2 31
На множестве дробен I у , -у-, — , - j - , — , - н зад ан о отноше
ние равенства. Граф его приведен на рисунке 67. Какими свойс тва
ми облад ает данное отношение?
1) Оно рефлексивно, так как л юбая дробь равна сама себе.
2) Оно симметрично, та к как из того, что дробь х равна дроби у,
следует, что и дробь у равна дроби х.
3) Оно транзитивно , так как из того, что дробь х равна дроби у
и дро бь у равна дроби г, следует, что дробь х равна дроби г.
Таким образом , отношение раве нства дробей рефлексивно,
симметрично и транзи тивно. Говорят, что оно яв ляется отношением
эквивалентности.
107
Рис 67
О п р е д е л е н и е . Отношение R на
множестве X называется отношением
эквивалентности, если оно рефлексив
но, симметрично и транзитивно.
Отношениями эквивалентности яв
ляются, например, отношение п ара л
лельности прямых, отношение раве н
ства фигур.
Почему в математике выделили этот
вид отношений?
Посмотрим на граф отношения равенс тва дробей, а такж е на
графы отношений паралл ельности и равенства отрезков (рис. 62).
Все они отличаются от графо в других отношений тем, что на них
видно, как множество, на котором зада но отношение, разб ивае тся
на несколько подмножеств. Так, на графе отношения ра
венства дробей (рис. 67) выделяются три по дмножества:
,
-|-| , j^ -j . Эти подмножеств а не пересекаются, а их
объединение совпадает с множеством X, т. е. имеем разбиение
множества X на попарно непересекающиеся подмножества. Ана
логичную картину мы имеем и для отношений паралл ельности и
равенства отрезков. Это не случайно.
Т е о р е м а . Если на множестве X зада но отношение эк вива
лентности, то оно разбивает это множество на попарно непере
секаю щиеся подмножества (классы эквивалентности).
Верн о и обратное утверждение: если како е-либ о отношение,
за данн ое н а множестве X, опр еделило разбиение этого множества
на классы , то это отношение есть отношение эквивалентности.
Эту теорему мы принимаем без доказательства.
Если отношение эквивалентности имеет название , то соответ
ствующее название дается и класса м. Например, если на множестве
отрезков зада ть отношение равенства (оно являетс я отношением
эквивалентности), то множество отрезков разобьется на классы
равных отрезков. Множество треугольников отношением подобия
разбивается на классы подобных треугольников.
В чем важ ность такого разбиени я множества на классы? Дело
в том, что в каждом классе эквивалентности оказываются экви
валентные элементы, т. е. элементы, неразличимые с точки зрения
некоторого отношения. Например, равны е дроби или подобные тре
угольники. Поэтому считают, что класс эквивалентности (множество)
определяется любым (одним) своим представителем, т. е. произ
вольным элементом этого класса. Так, любой класс рапных дробей
можно зад ать , указа в любую дробь, принад лежащую этому
классу.
Определение класса эк вивалентности по одному представителю
позволя ет вместо всех элементов множест ва изучать совокуп
ность отдельных представителей из классов эквивалентности.
108
Упражнения
1. X — множество прямых плоскостй. Какое из следующих от
ношений является отношением эквивалентности на этом множестве:
1) «л: паралл ел ьна у»; 2) «х пе рпендикулярна у»; 3) «х пересе
кает у»?
2. На множестве Х = { \ , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) зада но отно
шение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Покажите,
что данное отношение есть отношение эквивалентности, и за пишите
все классы эквивалентности, на которые разбивае тся множество X.
Сколько таких классов получилось?
3. Сколько классов эквивалентности определит на множестве X
(см. упр. 2) отношение «иметь один и тот ж е остаток при делении на
4»? Запишите эти классы. Назовите по одному представителю к аж до
го класса.
4. На множестве М прямоугольников (рис. 68) зад ан о отноше
ние равновеликости. Покажите, что оно является отношением экви
валентности, и назовите классы, на которые разоб ьется множество
М при помощи этого отношения.
5. Можно ли разбить множество Л = {7—3; 22; 5-2 ; 60 :6;
1 + 3 ; 0:4; 0- 10; 4; (1 0— 10)) на классы при помощи отношения
«иметь равные значения»?
6. Объясните, почему отношение равенства отрезков являе тся
отношением эквивалентности, а отношение «короче» не является.
7. На множестве Х = {213, 37, 21, 87, 82) зада но отношение Р —
«иметь в записи одинаковые цифры». Явл яется ли Р отношением
эквивалентности?
8. Отношение Т — «иметь одно и то же число делителей» з ада но
на множестве {1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11). Покажите , что Т — отношение
эквивалентности, и зап иши те все классы эквивалентности.
9. На множестве целых чисел от 0 до 999 зад ано отношение
R — «иметь в записи одно и то же число цифр». Покажите, что R —
отношение эквивалентности. На сколько классов оно разбив ает
данное множество чисел? Назовите наименьший и наибольший
элементы каждого класса разбиения.
F,
Fs f 7 гя
F*
Ј
—
Ј
Рис. 68
109
10.
Сколько классов эк вивалентности определяет на множестве
нату ральных чисел отношение «окан чиваться одной и той же циф
рой»? Назовите по одному представителю каждого класса.