38. Свойства отношений

Ранее мы установили, что в математике изучают

разнооб разные отношения между двумя объектам и.

. а . .

в

, 1 1 *

К аж до е из них рас сматривается на некотором е . Ј-1

множестве X и предст авляе т собой множество J

пар.

Но как изучить такое количество отношений? Рис. 61

Нельзя ли их каким-либо образом класси фициро

^

вать? Ок азывае тся, можно. Д л я этого нужно выделить свойства

отношений.

Рассмотрим на множестве отрезков, представленных на рисун

ке 61, отношения пар ал лельност и1, перпендикулярности, равенства

и «длиннее». Построим графы этих отношений (рис. 62).

Чем объ ясняетс я сходство графов отношений параллельности и

раве нства? Или гр афов отношений перпендикулярности и парал

лельности? Очев идно, тем, что эти пары отношений обл ада ют

«похожими» св ойствами. Какими?

Рассмотрим графы отношений параллельно сти и равенства. Они

имеют петли, которые говорят о том, что, какой бы отрезок из

м ножества X мы пи взяли, о нем можно ска зать , что он парал л е

лен самому себе или что он равен самому себе.

Про отношения па раллельности и равенства говорят, что они

1 При этом будем исходить из следующего определения отношения параллель

ности: прямые называю тся параллельн ыми, если они лежат в одной плоскости, не

имеют общих точек или совпадают.

Граф отношения

параллельности

Граф от ношен ия

ра венст ва

Рис. 62

Граер отношения

перпендикулярности

Граф отношения

„длин нее"

103

обл ада ют свойством рефлексивности или, просто, что они реф лек

сивны.

О п р е д е л е н и е . Отношение R на множестве X называется

рефлексивным, если о любом элементе множества X можно сказать,

что он находится в отношении R с самим собой.

Д анное определение можно запис ать короче:

R рефлексивно на X о xR x дл я любого х Ј Х

Ка к мы уже заметили, если отношение R рефлексивно, то в

к аждой вершине гр афа имеется петля. Справедлив о и обратное:

граф, каждая вершина которого имеет петлю, пред ставляет собой

граф некоторого рефлексивного отношения.

Существуют отношения, которые свойством рефлексивности не

обладают. Таким, например, является отношение перпендикуляр

ности (рис. 62) : нет ни одного отрезка в множестве X, о котором

можно было бы сказать, что он перпендикулярен самому себе.

Обратим теперь внимание на графы отношений па раллельности,

перпендикулярности и равенства отрезков. Их особенность в том,

что если есть одна стрелка, соед иняющая пару элементов, то об я

за тельно есть и другая, со единяю щая те же элементы, но идущая

в противоположном направлении. Эти стрелки говорят о том, что:

1) если первый отрезок па раллелен второму отрезку, то и второй

отрезок параллелен первому;

2) если первый отрезок перпендикулярен второму отрезку, то

и второй отрезок перпендикулярен первому;

3) если первый отрезок равен второму отрезку, то и второй от

резок равен первому.

Про отношения параллельности, перпендикулярности и равенства

говорят, что они облада ют свойством симметричности или, просто,

симметричны.

О п р е д е л е н и е . Отношение R на множестве X называется

симметричным, если из того, что элемент х находится в отноше

нии R с элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении

R с элементом х.

Короче:

R симметрично на Х о х Ry=>yRx

Граф симметричного отношения облад ает особенностью: вместе

с каждой стрелкой, идущей от х к у, граф содерж ит и стрелку,

идущую от у к х. Справедливо и обратно е утверждение: граф,

содер жащи й вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, и стрелку,

идущую от у к х, явл яется графом симметричного отношения.

Существуют отношения, которые свойством симметричности не

104

облад ают. Таким, например, является отношение «длиннее» для

отрезков.

Рассмотрим граф этого отношения. Его особенностью является,

то, что если стр елка соединяет две вершины, то она только одна.

Про отношение «длиннее» говорят, что оно облад ает свойством

антисимметричности или, просто, антисимметрично.

О п р е д е л е н и е . Отношение R на множестве X на зывается

антисимметричным, если для различных элементов х и у из множест

ва X из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у,

следует, что элемент у в отношении R с элементом х не находится.

Короче:

R антисимметрично на X о xR y и х ф у yR x .

Граф антисимметричного отношения обл ада ет особенностью: если

две вершины граф а соединены стрелкой, то эта стрелка только

одна. Справедливо и обратное утверждение: гр аф, вершины ко

торого соединяются только одной стрелкой, является графом

антисимметричного отношения.

Не следует дум ать , что все отношения делят ся на симметрич

ные и антисимметричные. Встречаются отношения, которые не об

л ад аю т ни свойством симметричности, ни свойством антисиммет

ричности. Рассмотрим, например, отношение «быть братом» на мно

жестве детей одной семьи. Пусть в семье трое детей: Коля, Миша,

Таня. Тогда граф отношения «быть братом» будет таким, как на

рисунке 63.

Он показыва ет, что данное отношение не облад ает ни свойст

вом симметричности, ни свойством антисимметрично сти.

Обратим внимание еще на одну особенность графов отношений

параллельности, раве нства и «длиннее» (эта особенность не сразу

зам етна): если стр елка идет от первого элемента ко второму и от

второго — к третьему, то обяза тельно есть стрелка, идущая от

первого элемента к третьему. Эта особенность гр афов отраж ает

свойство данных отношений, на зывае мое свойством транзи тив

ности.

О п р е д е л е н и е . Отношение R на м ножест ве X назы вается

транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R

с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом г,

следует, что элемент х находится в отношении R с элементом г.

Короче:

R тран зити вно на X о xR y и y R z => x R z .

Граф тра нзит ивного отношения с каждой парой

стрелок, идущих о т х к у н о т у к г , содержит и

Рис. 63

105

Рис. 64

У стрелку, идущую от х к г (рис. 64). Справедл иво и

обратное утверждение.

Существуют отношения, которые свойством тра н

зитивн ости не обладают. Таким отношением яв л я

ется, например, отношение перпендикулярности

отрезков: если а перпендикулярен d и d перпенди-

кулярен Ь, то а не перпендикулярен Ь.

Выделенные свойства отношений позволяют сра в

нивать различные отношения с общих позиций — наличия у них тех

или иных свойств. Так, рассмотренные нами отношения параллель

ности и равенства отрезков обладают одними и теми ж е свойствами:

они рефлексивны, симметричны и транзитивны. Отношение перпен

ди кулярности отлично от них, поскольку оно симметрично и не об

лада ет ни свойством рефлексивности, ни свойством транзитивности.

Иной характ ер у отношения «длиннее» — оно антисимметрично и

транзитивно.

Упражнения

1. На множестве ^ = {1, 2, 4, 8, 12} зад ан о отношение

«х кратно у». Постройте граф и сформулируйте свойства данного

отношения.

2. Чем отличается граф отношения «х — делитель у», зад ан

ный на множестве X (см. упр. 1), от гра фа отношения «х кратно у»?

Есть ли отличия в свойствах этих отношений?

3. На множестве А отрезков (рис. 65) зад аны отношения

«равно» и «короче». Постройте графы и сформул ируйте свойства

данных отношений. Какое из этих отношений не об ладае т свой

ством рефлексивности? Каковы особенности его граф а?

4. Обл адает ли свойством рефлексивности отношение «кратно»,

заданно е на множестве В = {0, 2, 4}?

5. На множестве Х = {2, 3, 4, 5, 6} зада ны отношения «больше»

и «больше или равно». Постройте графы и сфо рмулируйте свойства

данных отношений. Какое из них обл ада ет свойством рефлексив

ности? Почему?

6. Каковы свойства отношений «больше в 2 ра за» и «больше

на 2», за дан ных на множеств е Y = {2, 4, 6, 8, 12}? В чем сходство

графов данных отношений? Пр авильно ли рассужд ение: «Отношение

«больше в 2 раза» антисимметрично, так как из того, что х больше

у в 2 раза, не следует, что у больше х в 2 раза»?

в

Рис. 65

106

Ри с. 66

7. Построили граф отношения R , и оказа лось, что он имеет

стрелку, идущую от элемента а к элементу Ь и от элемента Ь

к элементу с, а стрелки, идущей от а к с, нет. М ожет ли

отношение R быть транзи тивным? Почему?

8. На графе отношения S есть стрелка, ид ущая от элемента х

к элементу у. Может ли отношение S быть транзитивным?

9. На множестве Е = (а, Ь, с, d\ задано отношение /? = ((а, Ь),

(а, а), (b, Ь), (с, с), (d , d), (с, d), (с, а), (а, 6)). Какими свойствами

оно облад ает?

10. На рисунке 66 приведены графы отношений, заданных на

множестве Х={1, 2, 3, 4, 5).

Какие из этих отношений: 1) рефлексивны; 2) транзитивны;

3) симметричны и транзитивны; 4) антисимметричны и тр анзи

тивны?

11. Установите, какие отношения рассматрив аютс я в следующих

за дачах, и обоснуйте сходство способов их решения:

1) Пионеры сделал и к карнавалу 15 ша почек дл я мальчиков, а

дл я девочек в 2 раза больше. Сколько всего карн авал ьных шапочек

они сделали?

2) Октябр ята вы резали для елки 26 звездочек, это в 2 ра за мень

ше, чем снежинок. Сколько всего зве здочек и снежинок вырезали

октябрята?