37. Способы задания отношений
По определению отношение R между элементами мн ожества X
есть всякое по дмножество декартова произведения X X X , т. е. мно
жество, элементами которого явл яются упорядоченные пары. По
этому способы задания отношений, по существу, такие же, как и
способы зад ан ия множеств.
1. Отношение R на множестве X можно зад ать , перечислив все
пары элем ентов, взятых из множества X и связанных этим от
ношением.
Формы записи при этом могут быть различными. Например,
некоторое отношение R на множестве Х = {4, 5, 6, 7, 9( можно
задать, запис ав множество пар: ((5, 4), (6, 4), (6, 5), (7, 4), (7, 5),
(7, 6), (9, 4), (9, 5), (9, 6), (9, 7)}. То же отношение можно з адат ь
при помощи графа (рис. 60).
2. Чаще отношение R на множестве X задаю т, ук азав ха
рактеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в от
ношении R. Это свойство формулируется в виде предложения с двум я
переменными, хотя обозна чения переменных иногда опускаются.
Например, среди отношений на множестве N натуральных чисел
мы уже называли такие: «число х больше числа у», «число х —
делитель числа у», «число х меньше числа у в 3 раза» и др.
Правд а, мы имели дело, как правило, с краткой формой этих
предложений: говорили об отношениях «больше», «быть делителем»,
«меньше в 3 раза» .
В математике многие предложения с двумя переменными за
писывают, используя символы. Например, отношение «больше» дл я
чисел может быть зад ан о в виде
неравенства х > у , а отношение «чис
л о х меньше числа у в 3 раза» — в
виде равенства у = Зх. Отноше
ния между прямыми плоскости з ада
ют как в краткой форме (отношения
па раллельности, перпендикуля рнос
ти и др. ), так и используя символы:
*11у. х ± у .
Особые знаки используют и для
записи отношений м ежду треуголь
никами: А А В С = /SA \B\C \, / \ A B C ~
9
Рис. по
101
~
д Л .В , С , . Обобщением приведенных
записей явл яетс я запись xR
y,
кот орая означа ет, что элемент х находится в отношении R с э ле
ментом у.
Ни в начальном курсе матема тики, ни в^ средней школе понятие
отношения в общем виде не вводится, зд^сь изучают конкретные
отношения между различными объектами.
В начальной матема тике большо е внимание уделяется изучению
отношений м ежду числами. Зада ю т их по-разному: при помощи
предложений с двумя переменными, имеющими краткую форму
(«больше», «больше в ... раз», «меньше на ...»), запо лняют таб л и
цы. Со значительным числом отношений учащие ся начальных клас
сов встречаются при решении текстовых задач. Например, чтобы
решить задачу «Колхоз продал государству 364 т пшеницы, риса
на 76 т меньше, чем пшеницы, а гречихи в 32 раза меньше, чем ржи.
Сколько всего зерна продал колхоз государству?» учащийся должен
хорошо понимать смысл отношений «меньше на 76» и «меньше
в 32 раза».
Упраж нения
1. Зада йте различными способами какое-либо отношение м еж
ду элементами множества Л = {3, 6, 9, 18, 27).
2. Запишите в виде равенс тва предложение:
1) число х больше числа у на 5; 2) число х меньше числа у на 7;
3) число х больше числа у в 5 раз; 4) число х меньше числа у в 5 раз.
3. Зада йте в виде неравенства с двумя переменными отношения:
1) «меньше»; 2) «меньше или равно».
4. Приведите примеры отношений, рассматр иваемые в начал ь
ных классах :
1) на множестве на туральных чисел; 2) на множес тве отрезков;
3) в текстовых задача х.
5. Элементы множе ства Х = {0, 1, 3, 4, 6) находятся в отношении
р =№> *). (0. 3). (0, 4), (0, 6), (I, 4), (6, 6)j. Постройте гр аф
этого отношения.
6. Постройте граф отношения «больше или равно», задан ного
на множестве (0, 1, 2, 3, 4). Как задат ь это отношение при помощи
нерав енства с двумя переменным и?
7. Решите задачи, выделив предварительно отношения, которые
в них рассматриваются:
1) На одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой.
Когда с первой полки сняли 8 книг, а на другую положи ли 5 книг,
то на второй полке стал о на 17 книг меньше, чем на первой.
Сколько книг было на каждой полке?
2) На автоба зе было на 46 грузовых машин больше, чем авт о
бусов. Сколько грузовых машин было на автобазе, если их было в
3 раза больше, чем автобусов?
102