35. Некоторые задачи, связанные с декартовым умножением

конечных множеств

Мы познакомились с новой операцией над множествами — де

картовым умножением. Получа я различные декартовы произведения,

мы особенно внимательно следили за тем, чтобы получить все его

элементы, не пропустить ни одного. Но как проверить, все ли эле

менты декартова произведения заданных множеств перечислены?

Другими словами, как, зна я число элементов в множестве А и в

множестве В, определить число элементов в декартовом произ

ведении А Х В? О твет на этот вопрос дает следующ ая теорема:

Т е о р е м а . Если множество А содержит m элементов, а мно

жество В — п элементов, то декартово произведение А Х В со

держит Ш 'П элементов.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А = {а(, а2, ..., а Д B — (bi, b j ,..., b„}.

Тогда множество А Х В состоит из всевозможных пар:

(а/, Ь,). (а,, Ь2), .... (а,, Ьп),

(а2, Ьi), (а 2, Ы .... (а 2, Ь„),

(ат , Ь\), {ат , Ь2), .... (ат , Ьп).

95

В каждом столбце этой табл ицы гп пар, а таких столбцо в п.

Значит, всего в множестве Л Х В сод ержится т - п элементов.

Д ок азанну ю теорему можно распространить и на дека ртово

произведение п множеств, т. е.

п { А \ Х А 2Х . - Х А п) = п(А^) -п { А п ( Ап).

З а д а ч а . Сколько элементов в декартовом произведении

А Х А , если Л = { а , Ь, с, d, е)?

Р е ш е н и е . Так как в множестве А содержится 5 элементов, то

в декартовом произведении А Х А будет 5-5 = 25 пар.

Правило подсчета числа пар декартова произведения двух

конечных множеств и его обобщение на случай п множеств широко

используются при решении так называемых комбинаторных задач.

Комбинаторные задачи — это задачи, связанные с составлением

из элементов конечных множеств по некоторым правил ам различ

ных комбинаций.

Так, в задаче «Используя цифры 4, 2, 8, напишите все во з

можные двузначные числа так, чтобы одна и та же цифра в записи

числа не повторялась» требуется рассмотреть различные комби на

ции из цифр 4, 2, 8 при условии, что цифры в этих комбинациях

не повторяются. Следовательно, эта зад ача, а ее решают в начальных

классах, комбинаторная.

Раздел математики, зан имающийся решением комбинаторных

задач, на зывается комбинаторикой. Комбинаторика играет важную

роль в решении ряда проблем теории вероятности, кибернетики,

вычислительной техники и в других област ях математики.

Зам етим, что празило подсчета числа элементов де картова

произведения в комбинаторике носит назва ние правила произведения

и часто формулируется в таком виде: если элемент х можно выбрать

т способами, а элемент у — п способами, то пару (*, у) можно

выбрат ь т - п способами.

З а д а ч а 1. Из города А в город В ведут три дороги, а из

В в С — две дороги. Сколькими способами можно проехать из

А в С через В?

Р е ш е н и е . Представим, что из Л в В ведут дороги 1, 2 и 3,

а из В в С — дороги а и б (рис. 55). Тогда из Л в С через В

можно проехать следующими способами: ( I, а ) , ( 1 ,6), (2, а), ( 2,6 ),

(3, а) , (3, 6).

Но можно было решить данную зада чу и не прибегая к помощи

рисунка, да и все способы проезда из Л в С через В расс матри

ва ть нет необходимости. Чтобы ответить на вопрос зада чи, до ста

точно понять, что в ней речь идет о числе

д

1

р а г всевозможных упорядоченных пар, первая

/ ----- ~2------- ч/"— ^ \ компонента которых выбирается из дорог, ве-

Г"-----j

----- --------

!

* дущих от Л к В, а вт орая — из дорог, веду-

щих от В к С. Так как способов выбора

96

Рис. 55

дорог от Л к В 3, а способов выбор а дор ог

от В к С — 2, то согласно правилу произведения упорядоченную

пару дорог можно выбрат ь 3- 2 = 6 способами.

З а д а ч а 2. Сколько трехзначных чисел можно составить, ис

пользуя цифры 5, 6 и 7, если цифры в записи числа: 1) могут

повторяться; 2) не повторяются?

Р е ш е н и е . 1) Если повторения цифр разр ешены, то на каждое

место в записи трехзначного числа можно поставить любую из

данных трех цифр, т. е. способов выбора первой цифры 3, способов

выбора второй цифры тож е 3, способов выбора третьей цифры 3.

Следовательно, в этом случае можно составить 3>3-3 = 27 трехз нач

ных чисел. 2) Если цифры в записи числа не повторяются, то

способов выбора первой цифры 3, способов выбора второй цифры 2,

а способов выбора третьей — 1. Следовательно , в том случае

можно составить 3 * 2 - 1 = 6 трехзначных чисел.

Упражнения

1. В множестве А 7 элементов. Сколько элементов в множест

ве В, если в декартовом произведении А х В содержится: 1) 42 эле

мента; 2) 7 элементов; 3) 0 элементов?

2. Набор сос тавляется из книги и блокнота. Сколько разл ич

ных наборов можно составить, если им еется 20 видов различных

книг и 15 видов различных блокнотов?

3. Сколько двузначных чисел можно составить, используя циф

ры 1, 2, 3, 4, если цифры в записи числа: 1) повторяются; 2) не

повторяются?

4. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из

цифр I, 2, 4, 6, 8, если каждая из них может быть использована

в записи числа только один раз ? Сколько среди них таких,

которые начинаются с цифры 2?

5. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя циф

ры 3, 4, 0, если цифры в записи числа не повторяются?

6. Команда космического кора бля состоит из трех человек: ко

мандира, бортинженера и врача. На место ком андира есть 2 к ан

дидата, на место бор тинженера — 3, на место врача — 4. Сколь

кими способами может быть сос тавлена команд а кораб ля?

7. Сколькими способами можно ра ссадить 5 учащихся, если

в классе 40 мест?

8. На окружности отмечены 4 точки. Сколько различных хорд

они определяют?

9. В классе изучается 10 предметов. В понедельник 5 уроков,

причем все уроки разные. Сколькими способами можно составить

расписание на понедельник?

10. Д ля ведения соб рания из 36 человек надо выбрать пред

седателя и секрета ря. Сколькими способами это можно сделать?

11. Сколько можно составить четырехзначных чисел, д еля

щихся на 5?

4 Заказ 147

97