34. Изображе ни е декартова произведения двух числовых

множеств на координатной плоскости

Когда множества А к В конечны и содержат небольшое число

элементов, найти их декартово произведение несложно. А если

множества А и В бесконечны? Как представить, например, декартово

произведение множества А натуральных чисел, больших 3, и мно

жеств а В натуральных чисел, больших 5?

Круги Эйлера в этом случае нам помочь не могут.

В математике нашли выход из этой ситуации. Оказывается,

наглядное изображение декартова произведения двух числовых мно

же ств можно получить при помощи координатной плоскости.

Каким образом?

Чтобы ответить на этот вопрос, уточним наши представления

о координатной прямой и координатной плоскости.

Координатная прямая — это прямая с заданным на ней началом

отсчета, единицей длнны и положительным направлением (рис. 46).

Каково назначение координатной прямой?

Возьмем на прямой I точку М (М не совпадает с О) и поставим

ей в соответствие такое число х, что:

1) его модуль равен расстоянию от О до М\

2) оно положительно, если точка М лежит на луче 0 Ј, и отри

цательно, когда то чка М лежит на противоположном луче.

Та к, определенное число х называют координатой точки М и пи

шут: М (х).

Например, на рисунке 47 то чка М имеет координату 4, точка

К — координату — 2.

В том случае, когда точка Л? совпадает с точкой О, считают

что координата точки М равна нулю, и пишут: Л1 (0).

Таким образом, с введением координатной прямой устана вли ва

ется свя зь между точками прямой и действительными числами:

каждой точке М координатной прямой соответствует единственное

действительное число х — координата этой точки. Справедливо и

обратное утверждение: каждое действительное число х сопоставляет-

О Ј

Рис. 46

У

Я

О Е

Рис. 47

М

91

С

Те

Рис. 48

М

Г

ся единственной точке М, имеющей

число х своей координатой.

Например, число 7 на координат

ной прямой (рис. 48) можно изобра

зить точкой1М (7), а число — 3,5 —

точкой С ( — 3,5).

Возьмем две взаимно перпенди

кулярные координатные прямые Ох и

О у с общим началом и единицами

длины О Е | и 0Јг. такими, что О Е |=

= 0Јо (рис. 49). Такие прямые

Ох и Оу н азываются осями пря

моугольной системы координат, при

чем прямую Ох н азывают осью

абсцисс, а прямую Оу — осью орди

нат. Плоскость с построенными в

ней осями координат, имеющими общее начало отсчета (точку

пересечения этих прямых) и одну и ту же единицу длины, н азы

вают координатной плоскостью.

Каково назначение координатной плоскости? Возьмем на коор

динатной плоскости точку М (рис 49). Ее положение здесь опреде

ляется двум я числами: абсциссой и ординатой. Абсцисса точки М —

это координата точки М\ на оси Ох, а ордината точки М — это

координата точки М 2 на оси Оу.

Е сли число х — абсцисса точки М, а число у — ее ордината,

то пишут М (х,у ) — и говорят, что точка М имеет координаты

х и у.

Таким образом, прямоугольная система координат позволяет

кажд ой точке плоскости поставить в соответствие единственную

пару действительных чисел — координаты этой точки. Справедливо и

обратное утверждение: каждая пара действительных чисел (х, у)

сопоставляется единственной точке М, имеющей х и у своими

координатами.

Подчеркнем еще раз ва жность координатного метода: с введе

нием координат (т. е. чисел, определяющих положение точки) на

прямой и на плоскости появилась возможность решать многие

геометрические задачи средствами алгебры, производя вычисления

с числами, а это, в свою очередь, дало возможность применять

Э В М к решению геометрических задач. И наоборот, при помощи

координатной прямой и координатной плоскости можно наглядно

реш ать многие алгебраические задачи.

Понятие координат точек на прямой и на плоскости было

впервые введено в геометрию французским ученым и философом

Рене Декартом в X V II веке. Это событие яви лось началом новой

эры в математике — эры рождения и развития понятий функции и

геометрического преобразования.

По имени Рене Декарта прямоугольные координаты на плоскости

называют еще декартовыми.

92

Но как связан о с именем Декарта, жившего в X V I I веке, понятие

декартова произведения множеств, введенное в математику в конце

X IX века? Чтобы ответить на этот вопрос, выясним сначала, как

используют прямоугольную систему координат для наглядного пред

ставлени я декартова произведения двух числовых множеств.

Пусть Л и В — числовые множества. Тогда элементами декар

това произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел.

Изобразив каждую пару чисел точкой на координатной плоскости,

получим фигуру, которая и будет наглядно представлять декартово

произведение множеств Л и В.

Изобразим на координатной плоскости декартово произ'ведение

множеств Л и В, если:

1) Л = {1, 2. 3).

2) Л = (1, 2. 3),

3) А Ф [ \ . 3J,

4) A = R ,

5) A = R.

В = {3, 5}

В = [3, 51

В = [3, 51

В = [3. 5]

B = R.

В случае 1 данные множества конечны и содержат небольшое

число элементов, поэтому можно перечислить все элементы их

декартова произведения: Л X В = ((1. 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5)(.

Построим оси координат и на оси Ох отметим элементы мно

жества Л, а на оси Оу — элементы множества В. Затем изобразим

каждую пару чисел из множества Л х В точкой

на координатной плоскости (рис. 50). Получен

ная фигура из шести точек и будет наглядно

представлять декартово произведение множеств

Л и В.

В случае 2 перечислить все элементы декар

това произведения множеств невозможно, по

скольку множество В бесконечное.

Но можно представить процесс образования

этого декартова произведения: в каждой паре

первая компонента либо 1, либо 2, либо 3, а

вторая компонента — действительное число из

промежутка [3, 5]. Все пары, первая компонен

та которых есть число I, а вторая про

бегает значени я от 3 до 5 включительно, изобра

жаются точками отрезка РМ\ пары, первая ком

понента которых равна 2, а вторая принимает все

1 2 3 X

Рис. 50

м _lа

III

действительные значения из промежутка [3, 5],—

точками отрезка KL, а пары, первая компонента

которых есть число 3, а вторая — любое дейст

вительное число из промежутка [3, 5],— точка

ми отрезка SQ (рис. 51).

Таким образом, в случае 2 декартово произ-

Р Я 5

1 2 3 X

Рис. 51

93

ведение множеств Л и В на координатной плоскости изобра

жается в виде отрезков P M , K L , S Q .

Случай 3 отличается от рассмотренного случа я 2 тем, что здесь

бесконечно не только множество В, но и множество Л. Это при

водит к тому, что первой компонентой пары, принадлежащей мно-

жесту Л Х В , могут быть не только концы промежутка [1, 3], но

и любое число этого промежутка. Поэтому точки, изображающие

элементы декартова произведения множеств А и В, образуют квад

рат K L M P (рис. 52). Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова

произведения изображаются точками квадрата, этот квадрат можно

заштриховать.

С лучай 4 отличается от предыдущего тем, что множество Л

состоит из всех действительных чисел, т. е. абсцисса точек, изобра

жающих элементы множества Л Х В , пробегает все действительные

значения, в то время как ордината выбирается из промежутка

[3, 5). Мн ожество таких точек образует полосу (рис. 53).

Декартово произведение R X R (случаи 5) состоит из всевозмо ж

ных пар действительных чисел. Точки, и зображ ающие эти пары,

сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, де

картово произведение R X R содержит столько же элементов,

сколько множество точек координатной плоскости.

Рассмотренные примеры показы вают, что название «декартово

произведение множеств» не случайно: в нем отражена тесная свя зь

между множеством упорядоченных пар чисел и его представлением

в декартовой прямоугольной системе координат.

Упражнен ия

1. К акую фигуру образуют на координатной плоскости точки,

изобр ажающие пары чисел ( — 1, 0), ( — 1, 4), (3, 0), (3, 4)?

2. Отметьте штриховкой множество точек координатной плос

кости, абсциссы которых отрицательны, а ординаты положительны.

3. Какую фигуру образуют точки, если их абсциссы принадле

жат множеству [ — 2, 2], а о рдинаты— множеству [ — 3, 3]?

4. Изобразите декартово произведение Л Х В в прямоугольной

94

   

Рис. 54

системе координат, если А = (0, 2, 4, 6), а В = {1, 3, 5). Принадлежит

ли построенной фигуре точка (2, 3)? А точка (3, 0 )?

5. Определите, декартово произведение каких множеств X и Y

изображено на рисунке 54.

6. Изобразите в прямоугольной системе координат множество

А Х В , если:

1) А = [ — 2, 2],

2) А = [- 2, 2].

3) A — R,

В = {2, 3, 4);

В = [2, 41;

в = \ 2, 4].

7. Покаж ите графически, что декартово умножение множеств

/4={3, 2, 1} и В — {4, 4, 6} не обладает переместительным

свойством.