Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Основы математики.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
12.47 Mб
Скачать

33. Декарто во умно жение множеств

В начальных классах учащиеся решают задачу: «Используя

цифры 1, 2 и 3, образовать всевозможные двузначные числа».

Путем перебора дети получают:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Запись каждого полученного числа состоит из двух цифр, причем

существен порядок их следования: например, из цифр 1 и 2 образо

вано два различных числа 12 и 21.

В том случае, когда важен порядок следования элементов мно

жества, в математике говорят об упорядоченных наборах элемен

тов. В данной задаче мы имеем дело с упорядоченными парами.

Упорядоченную пару, образованн ую из элементов а и Ь, принято

обозн ачать (а, Ь), причем элемент а называют первой координатой

(комп онентой) пары, а элемент Ь — второй координатой (ком

понентой) этой пары.

Пар ы (а, Ь) и (с, d) равны только в том случае, если а = с и

b — d.

В упорядоченной паре может быть, что а — Ь. Так, числа 11, 22, 33

можно рассматривать как упорядоченные пары (1, 1), (2, 2), (3, 3).

Вернемся еще раз к задаче, рассмотренной выше. В ней мы,

по существу, оперировали множеством (I, 2, 3}, из элементов кото

рого образовали всевозможные упорядоченные пары.

Мо жн о образовывать упорядоченные пары и из элементов двух

различных множеств. Например, возьмем множества Л =(1 , 2, 3) и

В = {3, 5} и образуем всевозможные упорядоченные пары так, что

первая компонента выбирается из множества Л, а вторая компо

нента — из множества В. Получим множество:

((1,3), (1,5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5)}.

В данную задачу, носящую формальный характер, можно вло

жи ть конкретный смысл — образовать всевозможные двузначные

числа так, что цифра десятков выбирается из цифр I, 2, 3, а цифра

единиц может бы ть 3 или 5.

В процессе решения этой задачи из двух данных множеств

Л и В образовано новое множество, элементами которого являются

упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декар

товым произведением множеств Л и В.

88

О п р е д е л е н и е . Декартовым произведением множеств А и В

называется множество пар, первая компонента которых принадлежит

множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначают А У, В.

Операцию, при помощи которой находят декартово произведение,

называют декартовым умножением множеств.

Декартово умножение не обладает переместительным свойством,

т. е. существуют такие множества А и В, что А Х В Ф В Х А . Чтобы убе

диться в этом, достаточно образова ть декартовы произведения

А Х В и В Х Л для таких, например, множеств: Л ={1 , 2, 3), В= { 3, 5).

Мн ожество А Х В получено нами раньше (см. с. 88), а множество

В Х А таково: ((3,1), (3,2), (3,3)* (5,1), (5,2), (5,3)}. Нетрудно ви

деть, что А Х В Ф В Х Л , так как множества А Х В и В Х А состоят

из различных элементов.

Декартово умножение множеств не подчиняется и сочетатель

ному закону, но связано с операцией объединения множеств рас

пределительным свойством: для любых множеств А, В и С имеет

место равенство (Л и В ) Х С = (Л X C ) U ( B X C ) .

Его мы примем без доказательства.

Элементы декартова произведения двух конечных множеств удоб

но записывать при помощи прямоугольной таблицы. Например,

декартово произведение множеств Л = {1, 2, 3} и б = (3, 5} можно

представить в следующем виде:

А в

л

5

1 0,3)

В математике рассматриваю т не только упорядоченные пары,

но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т. д. элементов.

Такие упорядоченные наборы называю т еще кортежами. Так,

(1, 5, 6 ) — кортеж длины 3 (т. е. в нем три элемента),

а (7, 8, 9, 4, 3) — кортеж длины 5.

Используя понятие кортежа, можно определить понятие декарто

ва произведения п множеств.

О п р е д е л е н и е . Декартовым произведением множеств А |,

A i, А „ называется множество кортежей длин я, образованных

так, что первая компонента кортежа принадлежит множеству

А |, вторая — множ еству Лз, ..., п-я — множ еству А п.

Обозначают декартово произведение множеств А\, Лг, ..., Л„ так:

л,хл2х...хл„.

Найдем декартово произведение множеств А\ Лг, Аз, если А\ —

= {2, 3}, Л 2= {3, 4, 5}, Лз = {7, 8}.

Элементами декартова произведения Л | Х Л 2Х Л 3 будут кортежи

89

длины 3, образованные так: первая компонента будет выбираться

из множества А\, вторая — из множества Л 2, третья — из множест

ва Аз- В итоге получим: А \X Л 2Х Л 3= ((2, 3. 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7),

(2, 4, 8). (2, 5, 7), (2, 5, 8). (3. 3, 7), (3. 3. 8), (3. 4, 7), (3, 4. 8), (3, 5. 7).

(3, 5, 8)}.

Упражнения

1. Дано уравнение 2х — у — 3. За пишите несколько решении дан

ного уравнения. Ч то представляет собой каждое решение? Явл яет

ся ли пара (4, 5) решением данного уравнения? А пара (5, 4)?

2. Элементами множеств Л и в являю тся пары чисел:

Какие пары чисел войдут в пересечение данных множеств? А какие

в объединение?

3. Запишем множество дробей, числителем которых является

число из множества Л ={4 , 5}, а знаменателем — число из множест

ва В = {3, 7, 9].

4. Перечислите элементы декартова произведения А Х В , если:

1) Л = [ о , Ь, с, d),

2) Л = [а, Ь, с),

3) Л = |а, Ь, с),

4) Л = 0 ,

В = [Ь, п, г);

В = (а, Ь, с);

В = 0 ;

В = {Ь, п. г).

5. Дан ы множества Л = (а, 6) и В = (с, d}. Является ли множество

С декартовым произведением множеств Л и В , если:

1) С = {(а, с), (a, d), ( Ь. с). ( Ь, rf)};

2) С = ((a, d), (Ь, (Г), (а, с));

3) С = [(а , d), (Ь, d), (с, d), (а, с)]?

6. Запишите различные двузначн ые числа, используя цифры

1, 2, 3, 4. Сколько среди них таких, запись которых начинается

с цифры 3?

Переформулируйте эту задачу, используя понятие декартова

произведения множеств.

7. Запиш ите с помощью прямоугольной таблицы множества

А Х В и В х А , если Л = (1, 3, 5, 7}, В = {0, 2, 4, 6, 8). Сколько

элементов содержат полученные декартовы произведения? М ож

но ли утверждать, что А Х В = В Х А ?

8. Д аны множества Х = (1. 2, 3, 4. 5} и У = {0, 4, 6, 8). В каком

из следующих случаев истинно высказы вание Л ег X X Y, если:

1) Л = {(1, 4). (2. 4), (3, 4), (5, 4)];

2) А = ((2, 0), (2, 6). (0, 6), (4, 4)};

3) Л = {(3, 4), (4, 3), (5. 4), (3, 6)}?

9. Проверьте справедливость равенства (Л U В ) X С =

= ( Л Х С ) и ( В Х С ) для множеств Л = {3, 5, 7); В = (6, 8, 9}, С = {0, 1}.

10. Выполняется ли для множества Л = (3, 5, 7, 8, 9}, В = (8, 9},

С = {0, I, 2} равенство ( Л \ В ) Х С = (Л Х С ) \ ( В Х С ) ?

90

11. Сколько букв в слове сбарабан»? С колько различных букв

в этом слове?

Переформулируйте эту задачу, используя понятия множества и

кортежа.

12. Чем отличается множество цифр в записи числа 56 576 от

кортежа цифр в его записи?

13. С помощью цифр 1, 2, 3 запишите всевозможные трехзнач

ные числа. Сколько таких чисел получилось?