
- •§ 1. Математические поняти я
- •1. Введение
- •2. О бъем и содерж ание понятия
- •3. Опред еление понятий
- •4. Требования к определ ению понятий
- •§ 2. Математичес ки е предложени я
- •5. Элем ентарные и составные предлож ения
- •6. Высказывания. Смы сл слов «и», «или», «не»
- •7. Высказывательны е форм ы
- •8. Смысл слов «все» и «некоторые»
- •9. Правила построения отрицаний высказываний,
- •2) Квантор общ ности (сущ ествования) заменяется квантором
- •10. Отнош ения следования и равносильности меж ду
- •11. Необходим ые и достаточные условия
- •12. Струк тура теоремы . Виды теорем
- •§ 3. Математичес ки е д о казательс тва
- •14. Простей шие схемы дедуктивных рассуждений
- •15. Неполная индукция
- •16. С пособы доказательства истинности высказываний
- •§ 4. Те ксто вые за д ачи и их реш ени е
- •18. Способы решения текстовых задач
- •19. Этапы решения задач арифметическими способами.
- •20. Приемы поиска плана решения задачи и его выполнение
- •21. Приемы проверки реш ения задачи
- •22. Решение задач алгебраическими способами
- •§ 5. Множества и операции над ни ми
- •23. Понятия множества и элемента множества
- •24. Способы задания множеств
- •25. Отношения меж ду множествами
- •26. Множества и понятия
- •27. Пересечен ие множеств
- •28. Объединение множеств
- •29. Законы пересечения и объединения множеств
- •30. Дополнение подмножества
- •31. Понятие разбиения множества на классы
- •32. Некоторые задачи, связанные с операциями
- •33. Декарто во умно жение множеств
- •34. Изображе ни е декартова произведения двух числовых
- •35. Некоторые задачи, связанные с декартовым умножением
- •§ 6. Отн ош ен ия и соотве тствия
- •36. Понятие отношения
- •37. Способы задания отношений
- •38. Свойства отношений
- •39. Отношение эквивалентности
- •40. Отношение порядка
- •41. Понятие соответствия
- •42. Соответствие, обратное данному
- •43. Взаимно однозначные соответствия
- •44. Равномощные множества
- •§ 7. Понятие числа
- •45. Об истории возникновения понятий
- •46. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет
- •47. Теоретико-множественный смысл количественного
- •§ 8. Понятие действий над целыми
- •48. Сложение
- •49. Законы сложения
- •50. Отношения «равно» и «меньше»
- •51. Вычитание
- •52. Отношения «больше нал и «меньш е на»
- •53. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа
- •54. Умно жение
- •55. Законы умноже ния
- •56. Деление
- •57. Отнош ения «больше в» и «меньше в»
- •58. Правила деления суммы на число и числа
- •59. Дел ение с остатком
- •60. Свойства множества целых неотрицательных чисел
- •§ 9. Смы сл натурального числа и действий
- •61. Сравнение отрезков. Действия над отрезкам и
- •63. Смысл сложения и вычитания чисел,
- •64. Смысл ум ножения н деления чисел,
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел
- •66. О возникновении и развитии способов записи
- •67. О записи чисел в Древней Руси
- •68. Сло жение многозначных чисел
- •69. Вычитание многозначных чисел
- •70. У множени е многозначных чисел
- •72. Запись чисел в позиционных системах счисления,
- •73. Действия над числами в позиционн ых системах счисления,
- •§ 11. Д ел им ость ц елы х нео трицательных чисел
- •74. Понятие отно шени я делим ости
- •75. Свойства отно шения делим ости
- •76. Делимость сумм ы, разно сти и про изведения
- •77. Признаки делимости чисел
- •78. Наибольш ий об щий делитель
- •79. Признаки делимости на составные числа
- •80. Н ахож дение наиб ольш его общего делителя
- •81. Алгоритм Евклида
- •Глава I II
- •§ 12. Полож ительны е рац иональные чи сл а
- •82. Понятие дро би
- •83. Понятие по ложительного раци онал ьно го числа
- •85. Умно жение и деление
- •86. Упорядоченность м ножества положитель ных
- •87. Запись положите льных рациональных чисел
- •8 8. Б е с кон ечны е д е с ятичн ы е п е р и о д и ческ ие д р о б и
- •§ 13. Действительн ые числ а
- •89. Понятие положительно го иррационального числа
- •Глава IV
- •§ 14. Ч исловые р авен ства и нера венства
- •§ 15. Ура вне ния и неравенств а
- •§ 16. Функции
- •Глава V
- •§ 17. П о н я ти е величи ны и ее и з м ер ен и я
- •§ 18. Длина, п л о щ а д ь, м асса, вр емя
- •Глава I. Общие понятия математики
- •§ I. Математические п о н я ти я ......................................................................—
- •§ 2. Математические предло жения................................................................
- •§ 3. Математические доказательства.......................................................... 32
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение................................................................ 43
- •§ 5. Множества и операции над н и м и .......................................................... 61
- •§ 6 Отношения и соот ветствии...............................................
- •Глава II. Целые неотрицательные ч и с л а .......................................................... 123
- •§ 7 Понятие ч и с л а ........................................................................................—
- •§ 8. Понятие действий над целыми неотрицательными числами . . . .
- •§ 9. Смысл натурального числа и действий над числами — результатами из
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действии над
- •Глава III . Расширение понятия ч и с л а ...................................
- •§ 12. Положительные рациональные числа . . .
- •Глава V. Величины и их изм ерения...................................................................... 277
- •§ 17. Понятие величины и ее и змер ения..........................................................278
- •§ 18. Длина, площадь, масса, в р е м я .......................................................... ....287
33. Декарто во умно жение множеств
В начальных классах учащиеся решают задачу: «Используя
цифры 1, 2 и 3, образовать всевозможные двузначные числа».
Путем перебора дети получают:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
Запись каждого полученного числа состоит из двух цифр, причем
существен порядок их следования: например, из цифр 1 и 2 образо
вано два различных числа 12 и 21.
В том случае, когда важен порядок следования элементов мно
жества, в математике говорят об упорядоченных наборах элемен
тов. В данной задаче мы имеем дело с упорядоченными парами.
Упорядоченную пару, образованн ую из элементов а и Ь, принято
обозн ачать (а, Ь), причем элемент а называют первой координатой
(комп онентой) пары, а элемент Ь — второй координатой (ком
понентой) этой пары.
Пар ы (а, Ь) и (с, d) равны только в том случае, если а = с и
b — d.
В упорядоченной паре может быть, что а — Ь. Так, числа 11, 22, 33
можно рассматривать как упорядоченные пары (1, 1), (2, 2), (3, 3).
Вернемся еще раз к задаче, рассмотренной выше. В ней мы,
по существу, оперировали множеством (I, 2, 3}, из элементов кото
рого образовали всевозможные упорядоченные пары.
Мо жн о образовывать упорядоченные пары и из элементов двух
различных множеств. Например, возьмем множества Л =(1 , 2, 3) и
В = {3, 5} и образуем всевозможные упорядоченные пары так, что
первая компонента выбирается из множества Л, а вторая компо
нента — из множества В. Получим множество:
((1,3), (1,5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5)}.
В данную задачу, носящую формальный характер, можно вло
жи ть конкретный смысл — образовать всевозможные двузначные
числа так, что цифра десятков выбирается из цифр I, 2, 3, а цифра
единиц может бы ть 3 или 5.
В процессе решения этой задачи из двух данных множеств
Л и В образовано новое множество, элементами которого являются
упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декар
товым произведением множеств Л и В.
88
О
п р е д е л е н и е . Декартовым произведением
множеств А и В
называется множество пар, первая компонента которых принадлежит
множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.
Декартово произведение множеств А и В обозначают А У, В.
Операцию, при помощи которой находят декартово произведение,
называют декартовым умножением множеств.
Декартово умножение не обладает переместительным свойством,
т. е. существуют такие множества А и В, что А Х В Ф В Х А . Чтобы убе
диться в этом, достаточно образова ть декартовы произведения
А Х В и В Х Л для таких, например, множеств: Л ={1 , 2, 3), В= { 3, 5).
Мн ожество А Х В получено нами раньше (см. с. 88), а множество
В Х А таково: ((3,1), (3,2), (3,3)* (5,1), (5,2), (5,3)}. Нетрудно ви
деть, что А Х В Ф В Х Л , так как множества А Х В и В Х А состоят
из различных элементов.
Декартово умножение множеств не подчиняется и сочетатель
ному закону, но связано с операцией объединения множеств рас
пределительным свойством: для любых множеств А, В и С имеет
место равенство (Л и В ) Х С = (Л X C ) U ( B X C ) .
Его мы примем без доказательства.
Элементы декартова произведения двух конечных множеств удоб
но записывать при помощи прямоугольной таблицы. Например,
декартово произведение множеств Л = {1, 2, 3} и б = (3, 5} можно
представить в следующем виде:
А в
л
5
1 0,3)
В математике рассматриваю т не только упорядоченные пары,
но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т. д. элементов.
Такие упорядоченные наборы называю т еще кортежами. Так,
(1, 5, 6 ) — кортеж длины 3 (т. е. в нем три элемента),
а (7, 8, 9, 4, 3) — кортеж длины 5.
Используя понятие кортежа, можно определить понятие декарто
ва произведения п множеств.
О п р е д е л е н и е . Декартовым произведением множеств А |,
A i, А „ называется множество кортежей длин я, образованных
так, что первая компонента кортежа принадлежит множеству
А |, вторая — множ еству Лз, ..., п-я — множ еству А п.
Обозначают декартово произведение множеств А\, Лг, ..., Л„ так:
л,хл2х...хл„.
Найдем декартово произведение множеств А\ Лг, Аз, если А\ —
= {2, 3}, Л 2= {3, 4, 5}, Лз = {7, 8}.
Элементами декартова произведения Л | Х Л 2Х Л 3 будут кортежи
89
длины
3, образованные так: первая компонента
будет выбираться
из множества А\, вторая — из множества Л 2, третья — из множест
ва Аз- В итоге получим: А \X Л 2Х Л 3= ((2, 3. 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7),
(2, 4, 8). (2, 5, 7), (2, 5, 8). (3. 3, 7), (3. 3. 8), (3. 4, 7), (3, 4. 8), (3, 5. 7).
(3, 5, 8)}.
Упражнения
1. Дано уравнение 2х — у — 3. За пишите несколько решении дан
ного уравнения. Ч то представляет собой каждое решение? Явл яет
ся ли пара (4, 5) решением данного уравнения? А пара (5, 4)?
2. Элементами множеств Л и в являю тся пары чисел:
Какие пары чисел войдут в пересечение данных множеств? А какие
в объединение?
3. Запишем множество дробей, числителем которых является
число из множества Л ={4 , 5}, а знаменателем — число из множест
ва В = {3, 7, 9].
4. Перечислите элементы декартова произведения А Х В , если:
1) Л = [ о , Ь, с, d),
2) Л = [а, Ь, с),
3) Л = |а, Ь, с),
4) Л = 0 ,
В = [Ь, п, г);
В = (а, Ь, с);
В = 0 ;
В = {Ь, п. г).
5. Дан ы множества Л = (а, 6) и В = (с, d}. Является ли множество
С декартовым произведением множеств Л и В , если:
1) С = {(а, с), (a, d), ( Ь. с). ( Ь, rf)};
2) С = ((a, d), (Ь, (Г), (а, с));
3) С = [(а , d), (Ь, d), (с, d), (а, с)]?
6. Запишите различные двузначн ые числа, используя цифры
1, 2, 3, 4. Сколько среди них таких, запись которых начинается
с цифры 3?
Переформулируйте эту задачу, используя понятие декартова
произведения множеств.
7. Запиш ите с помощью прямоугольной таблицы множества
А Х В и В х А , если Л = (1, 3, 5, 7}, В = {0, 2, 4, 6, 8). Сколько
элементов содержат полученные декартовы произведения? М ож
но ли утверждать, что А Х В = В Х А ?
8. Д аны множества Х = (1. 2, 3, 4. 5} и У = {0, 4, 6, 8). В каком
из следующих случаев истинно высказы вание Л ег X X Y, если:
1) Л = {(1, 4). (2. 4), (3, 4), (5, 4)];
2) А = ((2, 0), (2, 6). (0, 6), (4, 4)};
3) Л = {(3, 4), (4, 3), (5. 4), (3, 6)}?
9. Проверьте справедливость равенства (Л U В ) X С =
= ( Л Х С ) и ( В Х С ) для множеств Л = {3, 5, 7); В = (6, 8, 9}, С = {0, 1}.
10. Выполняется ли для множества Л = (3, 5, 7, 8, 9}, В = (8, 9},
С = {0, I, 2} равенство ( Л \ В ) Х С = (Л Х С ) \ ( В Х С ) ?
90
11.
Сколько букв в слове сбарабан»? С
колько различных букв
в этом слове?
Переформулируйте эту задачу, используя понятия множества и
кортежа.
12. Чем отличается множество цифр в записи числа 56 576 от
кортежа цифр в его записи?
13. С помощью цифр 1, 2, 3 запишите всевозможные трехзнач
ные числа. Сколько таких чисел получилось?