32. Некоторые задачи, связанные с операциями

над конечными множествами

В математике, в том числе и в начальной, часто приходится

решать задачи, в которых требуется определить число элементов

либо в множестве, либо в объединении множеств, либо в дополне

нии подмножеств. Существуют определенные приемы решения таких

задач.

Условимся обозначать число элементов конечного множества А

84

символом п (А ). Например, если А = { т , р, г, s, /^}, то можно записать,

что п ( Л )= 5 , и сказать, что в множестве А содержится 5 элементов.

Пусть заданы два множества: A = {k , /, т ) и В = {р, /, т , г).

Видим, что л ( Л ) = 3, п ( В ) = 4 и А ( ] В Ф 0 , так как множества

имеют общий элемент т . В объединение данных множеств войдут

все элементы множества А и элементы р, I, г из множества В.

Зн ачи т, л ( Л и В ) = 6.

Вообщ е если заданы конечные мн ожества А и В , такие, что

А ( ) В Ф 0 , то число элементов в их объединении подсчитывают по

формуле

п ( Л и Ј ) = л(Л ) + л ( В ) - л ( Л П В ) .

Если же множества Л и В не имеют общих элементов, т. е.

А ( ] В = 0 , то число элементов в их объединении определяют так:

п ( Л и В ) = п ( Л ) + л (В ) .

Нетрудно убедиться в том, что если В с: Л и известно число

элементов в множествах Л и В, то число элементов в дополнении

подмножества В до множества Л подсчитывают по формуле

( А \ В )= п (А )— п (В).

Рассмотрим задачу: «И з 40 учащ ихся класса 34 выписываю т

газету «Пион ерская правда», 23 — журнал «Пионер», 17 учащихся —

и газету, и жур нал. Е сть ли в классе учащи еся, которые не выпи

сывают ни журнала, ни газеты?»

Анализ условия показывает, что в задаче речь идет о множе

стве Л учащихся класса (в нем 40 элементов), о множестве В

учащ ихся, которые выпи сывают газету «Пионерская правда» (в нем

34 элемента), и о множестве С учащихся, которые выписывают

журнал «Пионер» (в нем 23 элемента). И з условия следует также,

что В и С — подмножества множества Л, они пересекаются, при

чем в пересечении содержится 17 элементов. Изобразим описанную

ситуацию при помощи кругов Эйлера (рис. 44). Видим, что выде

ление двух подмножеств В и С привело к разбиению множества Л

на 4 класса:

учащ ихся, которые выписывают и газету и журнал, их 17;

учащ ихся, которые выписывают газету и не

выписываю т журнал , их 17, так как 34— 17=

= 17 (чел.);

учащихся, которые выписывают журнал и

не выписывают газету, их 6, так как 23— 17=

= 6 (чел.);

учащихся, которые не выписывают ни газе

ту, ни журнал.

Чтобы найти число учащихся в этом чет

вертом классе, необходимо из числа всех

учащихся класса вычесть число учащ ихся,

выписывающих газету или~журнал, т. е. число

Рис. 44

85

элементов объединения множеств В и С. Найти число элементов

в объединении множеств В и С можно различными способами. Во-

первых, просуммировать число учащ ихся, оказавшихся в первых

трех классах: 17+ 17+ 6= 40 (учащихся) u и, во-вторых, воспользо

ватьс я формулой подсчета числа элементов объединения двух пере

секающихся множеств: п (S у С) = /г (В ) + л(С ) — п ( ВП С ) = 84 + 23 —

— 17= 40 (учащихся). Так как в классе всего 40 человек, то число

учащихся, не выписывающих ни газеты, ни жур нала, равно 40 —

— 40= 0, т. е. в классе нет учащ ихся, которые бы не выписывали ни

жур нала, ни газеты.

Рассмотрим еще такую задачу: «Из 40 учащ ихся класса 23

занимается в математическом кружке, а 27— в литературном. Каким

может быть число учащихся: а) занимающихся и в математическом,

и в литературном кружке; б) занимающихся хотя бы в одном из

этих кружко в?»

В задаче рассматриваются множества: А — учащихся класса,

В — учащ ихся, занимающихся в математическом кружке, С — уч а

щихся, занимающихся в литературном кружке, и известно, что

л (Л ) = 40, л ( В ) = 23, л (С ) = 27. Число учащихся, занимающихся

одновременно в двух круж ках,— это число элементов пересечения

множеств В и С. Обозначим его через х. Число учащихся, зани

мающихся хотя бы в одном из этих к ружков,— это число эле

ментов в объединении множеств В и С. О бозначим его через у.

Ч исла х н у принимают различные натуральны е значения в зави

симости от того, какие отношения существуют между множества

ми В и С (см. п. 25).

В данной задаче множества В \\ С таковы, что их пересече

ние всегда не пусто. Действительно, если допустить, что В ( ] С = 0 ,

тогда n ( B U C ) = 23 + 27 = 50, что невозможно, поскольку в классе

всего 40 учащихся. Зн ачит, для множеств в и С в данной задаче

возможны случаи, представленные на рисунке 45.

Очевидно, число х элементов в пересечении множеств В и С

будет минимальным тогда, когда их объединение совпадает с мно

жеством А, т. е. когда п ( В ( ] С ) = п (В) + я (С) — п ( B | jQ = 2 3 + 27 —

— 40= 10. Это число может увеличиваться до тех пор, пока мно

жество В не станет подмножеством множества С, и тогда п ( В(]С ) =

= 23. При этом число учащихся, занимающихся хотя бы в одном

из кружков, уменьшится от 40 до 27 (27— это число элементов

в объединении множеств В и С при условии, что В с: С).

Таким образом, число учащ ихся, которые занимаются и в ма

тематическом, и в литературном кружке, может изменяться от 10

до 23 включительно, т. е. 1 0 ^ x ^ 2 3 , xЈ N , а число учащихся,

которые занимаются хотя бы в одном кр ужке, при этом изменяется

от 40 до 27 включительно, т. е. 27^ (/ < 40, у ЈN.

Упражн ения

1. Можно ли узнать, сколько человек в классе, если в нем:

1) 17 мальчиков и 15 девочек; 2) 17 мальчиков и 23 пионера?

2. Из 50 учащихся 37 изучают английский язык, 17— немецкий.

Сколько человек изучают оба языка?

3. В классе несколько мальчиков собирали марки. 15 человек

собирали марки С С С Р, 11 человек собирали иностранные марки,

из них 6 человек собирали и марки С С С Р , и иностранные марки.

Сколько мальчиков в классе собирали марки?

4 . И з 32 школьников 12 занимаются в волейбольной секции,

15— в баскетбольной, 8 человек занимаются и в той и в другой

секции. Сколько школьников не занимается ни в волейбольной,

ни в баскетбольной секции?

5. Из 100 студентов английский яз ык и зучают 44 человека,

немецкий — 50 человек, французский — 49, английский и немецкий —

13, английский и французский— 14, немецкий и француз ский— 12.

Все три языка изучают 5 учащ ихся. Сколько студентов изучают

только один язык? Сколько студентов не изучают ни одного языка?

6. В лыжной, хоккейной и конькобежной секциях 38 человек.

Известно, что в лыжной секции занимается 21 человек, среди ко

торых 3 человека занимались еще в конькобежной секции, 6 человек

еще в хоккейной секции и 1 человек занимался одновременно во

всех трех секциях. В конькобежной секции занимались 13 человек,

среди которых 5 человек занимались одновременно в двух секциях.

Сколько человек занималось в хоккейной секции?

7. В классе 40 человек. Играют в баскетбол 26 человек, занимают

ся плаванием 25, ходят на лыжах 27. Одновременно занимаются

плаванием и баскетболом 15, баскетболом и лыж ами 16, плава

нием и лыжами 18 человек. Один из учащихся освобожден от

занятий по физкультуре. Сколько человек занимается всеми указа н

ными видами спорта? Сколько человек занимается только одним

видом спорта?

8. В группе 30 учащ ихся, из них 18 увлекаю тся математикой,

а 17— русский языком. Ка ки м может быть число учащ ихся, увле

кающихся обоими предметами? увлекающихся хотя бы одним пред

метом?

9. Из 30 учащихся группы 15 умеют вязать, а 12— шить. Каким

87

может быть число учащ ихся, умеющих вяза ть и ш ить? умеющих

вязать или шить?

10.

З а границу выехала група туристов из 100 человек. 10 из

них не знали ни немецкого, ни французского языка , 75 знали

немецкий язык, 83 — французский. Сколько тур истов владело обоими

иностранными язы ками?