31. Понятие разбиения множества на классы

Понятие множества и операций над множествами позволяют

уточнить наше представление о классификации.

Классификация — это действие распределения объектов по клас

сам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия

от объектов других классов.

80

Как правило, целью классификации явл яется систематизация

наших знаний. Например, в биологии имеется классификация ж и

вотных, охватыва ющая до 1,5 млн. различных видов животных, в

ботанике — классификация растений, вклю ча ющая 500 тыс. видов

растений. Классификация дает возможность рассмотреть это много

образие в определенной системе, выделить интересующие нас виды

растений или животных.

Ши роко применяется классификация в математике. Например,

натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы (меньше

развернутого) бываю т острые, прямые и тупые.

Ка ким условиям должна удовлетворять правильно выполненная

классификация?

Л юба я классификация связана с расчленением некоторого мно

жества объектов на подмножества. Если при этом каждый элемент

данного множества попадает в одно и только одно подмноже

ство, а объединение всех выделенных подмножеств совпадает со

всем множеством, то говорят, что данное множество разбито на

непересекающиеся подмножества или классы.

Считают, что множество X разбито на классы Х\, X?, Х п, если:

1) подмножества Х\, Х г , Х п попарно не пересекаются;

2) объединение подмножеств Х\, X ? , Х „ совпадает с множе

ством X.

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классифи

кацию считают неправильной.

Так, множество А' треугольников можно разбить на три класса:

остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, вы

деленные подмножества попарно не пересекаются (среди остроуголь

ных треугольников нет прямоугольных и тупоугольных, среди п ря

моугольных — тупоугольных) и их объединение совпадает с мно

жеством А.

Однако не всякая система подмножеств данного множества

представляет собой разбиение этого множества. Например, если

из множества А треугольников выделить подмножества равнобед

ренных, равносторонних и разносторонних, то разбиения множества

А на классы мы не получим, поскольку множества равнобедренных

и равносторонних треугольников пересекаются (все равносторон

ние треугольники являю тся равнобедренными).

Итак, классификация связана с выделением из множества его

подмножеств. Но чтобы выделить подмножество, достаточно ук а

зать характеристическое свойство его элементов.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его эле

менты обладают различными свойствами. Среди натуральных чисел

есть четные, нечетные, кратные 3, кратные 5 и т. д. Предпо

ложим, что нас интересуют натуральные числа, обладающие свой

ством делиться на 3. Это свойство позволяет выделить из множества

натуральных чисел подмножество чисел, кратных 3. Тогда про

остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны

3, т. е. получаем еще одно подмножество множества натуральных

81

Рис. 39

Рис. 40

чисел (рис. 39). Выделенные подмножества не пересекаются, а их

объединение совпадает с множеством N натуральных чисел.

Таким образом, задание одного свойства элементов множества

натуральных чисел привело к разбиению этого множества на два

класса: класс чисел, кратных 3 (его представителями являются,

например, числа 3, б, 15), и класс чисел, не кратных 3 (его пред

ставителями являются, например, числа 4, 5, 13).

А каким будет разбиение множества на классы, если для его

элементов указа ть два свойства, т. е. выделить из множества

два различных подмножества?

Обратимся к примерам.

Рассмотрим два свойства натуральных чисел: «быть кратным

3» и «быть кратным 5». При помощи этух свойств из множества

натуральных чисел можно выделить два подмножества: А — под

множество чисел, кратных 3, и В — подмножество чисел, кратных 5.

Эти подмножества пересекаются, но ни одно из них не является

подмножеством другого (рис. 40). Проанализируем получившуюся

картину. Круг, изображающий множество N натуральных чисел,

разбился на 4 непересекающиеся области — они пронумерованы

римскими цифрами. К аж дая область изображает некоторое подмно

жество множества N. Определим, какие числа оказались в каждом

из этих непересекающихся подмножеств. Подмножество I состоит

из чисел, кратных 3 и 5; подмножество 11— из чисел, кратных 3

и не кратных 5; подмножество I I I — из чисел, кратных 5 и не

кратных 3; подмножество I V — из чисел, не кратных 3 и не кратных 5.

Объединение этих четырех подмножеств есть множество N.

Таким образом, выделение двух свойств натуральных чисел

привело к разбиению множества натуральных чисел на 4 класса:

класс чисел, кратных 3 и 5; класс чисел, кратных 3 и не кратных

5; класс чисел, кратных 5 и не кратных 3; класс чисел, не кратных

3 и не кратных 5.

Не следует думать, что задание двух свойств элементов мно

жеств а приводит к разбиению этого множества именно на 4 класса.

Так бывает не всегда. Например, при помощи двух свойств «быть

прямоугольным» и «быть тупоугольным» множество треугольников

разбивается на три класса (рис. 41):

82

класс прямоугольных треугольников;

класс тупоугольных треугольников;

класс треугольников, не являющихся ни

прямоугольными, ни тупоугольными треуголь

никами (на рисунке он заштрихо ван).

Упражнения

1. Выделите из множества К = [0, 2, 6, 8,

9, 12, 15) два подмножества. В одно вклю чи

те числа, кратные 2, а в другое — кратные 3.

Произошло ли разбиение множества К на

класс чисел, кратных 2, и класс чисел, крат-

ных 3?

Рис. 41

Можно ли разбить данное множество К на три класса:

АС|={0, 2, 6}, К? = (8. 9} и /Сз= {12, 15}?

2. Можн о ли разбить множество книг в школьной библиотеке

на такие классы: художественная, учебная, техническая и детская

литература?

3. Пр авильны ли следующие классификации:

1) множество углов разб ивается на подмножества острых и тупых

углов;

2) множество параллелограммов разбивается на подмножества

прямоугольников, ромбов и квадратов?

4. На какие классы можно разбить множество букв русского

алфавита?

5. На какие классы разбивается множество точек плоскости при

помощи: 1) окружности; 2) круга; 3) прямой?

6. Перечертите фигуры, приведенные на рисунке 42, и на каждой

из них выделите (различными видами штриховки) непересекаю-

щиеся области.

7. Из множества натуральных чисел выделите подмножество

чисел, кратных 8. На сколько классов при этом произошло раз

биение множества натуральных чисел? Изобразите полученные клас

сы при помощи кругов Эйлера и назовите по два представителя

из каждого класса.

8. На какие классы можно разбить множество треугольников

при помощи свойства «быть остроугольным»? Начертите по два

треугольника — представителей каждого из классов.

9. Некоторые натуральные числа обладают свойством «быть

О

а

Рис. 42

83

а

Рис. 43

кратным 3», а некоторые — свойством «быть кратным 9». Устан о

вите, в каком из случаев на рисунке 43 изображены подмножества

чисел, обладающих указанными свойствами, и определите, на сколь

ко классов при этом разбивается множество натуральных чисел.

10. Определите классы разбиения множества X четырехуголь

ников, если оно осуществляется при помощи:

1) свойства «быть прямоугольником»;

2) свойств «быть прямоугольником» и «быть ромбом»;

3) свойств «быть прямоугольником» и «быть квадратом»;

4) свойств «быть прямоугольником» и «быть трапецией».

11. Покажите, что решение задач связано с разбиением задан

ного множества на попарно непересекающиеся подмножества:

1) 12 флаж ков пионеры раздали октябрятам, по 2 флажка

каждому. Сколько октябрят получили флажки?

2) Д ля игры в волейбол 12 ребят разбились на 2 команды

поровну. Сколько ребят стало в каждой команде?

12. О каких множествах и операциях над ними идет речь в

задачах:

1) С одной грядки сняли 25 кочанов капусты, а с другой— 15

кочанов. Всю эту капусту разложили в корзины, по 8 кочанов в

каждую. Сколько потребовалось корзин?

2) Д ля школьного сада привезли 24 саженца яблонь. На одном

участке пионеры посадили 6 саженцев, а па другом — остальные,

в 3 ряда поровну. Сколько саженцев посадили в каждом ряду?

3) Д ля детского сада купили 9 коробок цветных карандашей,

по 6 ш тук в каждой, и 46 черных карандашей. Сколько всего

карандашей купили?

4) Марки, собранные для коллекции, Толя разместил на 3 листа

альбома, но 6 штук на каждом листе. 4 из них Толя подарил другу.

Сколько марок у него осталось?