Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Основы математики.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
12.47 Mб
Скачать

30. Дополнение подмножества

Чтобы объясн ить учаще муся, что 5 — 3 = 2, часто используют

такой прием. Берут 5 предметов, например 5 кружков. После того

как учащиеся убедятся при помощи счета, что кружков действи

тельно 5, им предлагают 3 кружка убрать и сосчитать, сколько

кр ужков осталось. Осталось 2, значит, 5— 3 = 2.

В чем суть приема? Из данного множества, в котором а элементов,

удаляют подмножество, содержащее Ь элементов. Тогда в о став

шейся части множества а — Ь элементов.

При помощи кругов Эйлера данная ситуация представляется на

рисунке 37, где заштрихована та часть, которая осталась после

удаления из множества Л подмножества В. Э ту часть называют

дополнением множества В до множества Л.

О п р е д е л е н и е . Пусть В с : Л. Дополнением множества В до

множества Л называется множество, содержащее только те элементы

множества А, которые не принадлежат множеству В.

Дополнение множества В до множества Л (при

условии, что В а А ) обозначают Л \ В.

Операция, при помощи которой находят допол

нение подмножества, называется вычитанием.

Как находят дополнение подмножества в кон

кретных случаях? Прежде чем рассмотреть приме

ры, заметим, что согласно определению дополнения

хЈ А\В<^хЈ А и х{[В

78

Если элементы множества Л и В перечис

лены, то, чтобы найти Л \ В, достаточно

перечислить элементы, принадлежащие А

и не принадлежащие В. Так, если Л = {1, 2,

В том случае, когда указаны характе

ристические свойства элементов множеств

А и В ( В с : Л), характеристическое свойство

множества А \ В имеет вид «л:ЈЛ и х ЈВ ».

Найдем,например, дополнение множества В

до множества А при условии, что А — это

множество четных чисел, В — множество чи

сел, кратных 4, и определим, содержатся ли

в этом дополнении числа 20 и 26.

Так как все числа, кратные 4, четные, то В сг Л . Если из мно

жества А удалить все числа, кратные 4, то в нем останутся четные

числа, не кратные 4. Значит, А \ В — множество четных чисел, не

кратных 4. Характеристическое свойство элементов этого множе

ства — «быть четным числом и не кратным 4».

Нетрудно видеть, что 20Ј Л \ В, поскольку 20 — четное число и

кратно 4, а 26ЈЛ\В, так как 26 — четное число и не кратно 4.

Выясним теперь, из каких чисел состоит множество Л\ВПС>

если А — множество четных чисел, В — множество чисел, кратных

4, С — множество чисел, кратных 6.

В записи множества Л \ В П С нет скобок. Возникает вопрос:

какое действие выполнять первым? Условились считать, что опе

рация пересечения множеств является более «сильной», чем

вычитание. Поэтому порядок выполнейия действий над множест

вами в записи Л \ В П С следующий: сн ачала находят пересечение

множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из

множества А.

Пересечение множеств В и С состоит из чисел, кратных 4

и 6. Если удалить это пересечение из множества А, то в нем останут

ся четные числа, не кратные 4 и 6 (одновременно). При помощи

кругов Эйлера данные множества Л, В и С можно изобразить

так, как на рисунке 38. Дополнение пересечения множеств В и С

до множества Л на нем изображено штриховкой.

Упражнен ия

1. Сформулируйте условия, при которых истинны следующие

высказыван ия:

1) 5ЈЛ \В ; 2) 7ЈА \ В.

2. Известно, что хЈ А \ В. Следует ли отсюда, что:

1) хЈА; 2) лгЈВ?

3. Найдите дополнение множества С до множества D, если:

1) С = {а, б./в . г, д, е}\

2) С ={41, 42);

3) С = {9, 10, 11, 12);

D = {a , б, в, г, д, е, ж , и}-,

Ј>= {40, 41, 42, 43, 44);

Ј>= {И, 9. 12, Ю).

79

4 . Даны множества: А — множество натуральных чисел; В —

множество натуральных чисел, кратных 7. Верно ли, что:

1) 84еА \ В; 2) 17 6Л \8 ?

5. Найдите дополнение множества Y д о. множества X, если:

1) У — множество точек отрезка А В, X — множество точек пря

мой А В;

2) Y — множество точек квадрата. Л' — множество точек круга, в

который вписан данный квадрат.

6. F — множество равнобедренных треугольников, И — множе

ство равносторонних треугольников.

Начертите два треугольника, принадлежащие множеству F\H.

7. Из каких чисел состоит дополнение:

1) множества натуральных чисел до множества целых;

2) множества целых чисел до множества рациональных;

3) множества рациональных чисел до множества действитель

ных?

8. Какие числа принадлежат множеству A \ B [jC , если:

1) А — множество натуральных чисел; В — множество нату

ральных чисел, кратных 7; С — множество натуральных чисел,

кратных 3;

2) А — множество натуральных чисел; В — множество натураль

ных чисел, кратных 4; С — множество натуральных чисел, кр ат

ных 8?

У к а з а н и е . Операции вычитания и объединения множеств

в случае отсутствия скобок выполняются по порядку.

9. Проиллюстрируйте при помощи кругов Эйлера, что для любых

множеств А , В и С, таких, что B czA , CczA , истинны равенства:

1) А \ ( В [)С ) = (А\В)0 (А\С У.

2) А \ ( В ( ] С ) = (А \ В М А \ С ).

10. Назовите все множества, о которых идет речь в задаче:

1) У Коли 10 книг, 2 книги он подарил товар ищу. Сколько

кинг осталось у Коли?

2) На катке катали сь 7 мальчиков. Девочек было на 2 меньше,

чем мальчиков. Сколько девочек было на катке?

11. Установите, какое множество является дополнением одного

множества до другого в каждой из задач:

1) Пионеры сделали 10 игрушек. И з них 8 игрушек они отда

ли в детский сад. Сколько игрушек осталось у пионеров?

2) У Ва ни 6 значков, а у Лены на 2 з начка меньше. Сколько

значков у Лен ы?