
- •§ 1. Математические поняти я
- •1. Введение
- •2. О бъем и содерж ание понятия
- •3. Опред еление понятий
- •4. Требования к определ ению понятий
- •§ 2. Математичес ки е предложени я
- •5. Элем ентарные и составные предлож ения
- •6. Высказывания. Смы сл слов «и», «или», «не»
- •7. Высказывательны е форм ы
- •8. Смысл слов «все» и «некоторые»
- •9. Правила построения отрицаний высказываний,
- •2) Квантор общ ности (сущ ествования) заменяется квантором
- •10. Отнош ения следования и равносильности меж ду
- •11. Необходим ые и достаточные условия
- •12. Струк тура теоремы . Виды теорем
- •§ 3. Математичес ки е д о казательс тва
- •14. Простей шие схемы дедуктивных рассуждений
- •15. Неполная индукция
- •16. С пособы доказательства истинности высказываний
- •§ 4. Те ксто вые за д ачи и их реш ени е
- •18. Способы решения текстовых задач
- •19. Этапы решения задач арифметическими способами.
- •20. Приемы поиска плана решения задачи и его выполнение
- •21. Приемы проверки реш ения задачи
- •22. Решение задач алгебраическими способами
- •§ 5. Множества и операции над ни ми
- •23. Понятия множества и элемента множества
- •24. Способы задания множеств
- •25. Отношения меж ду множествами
- •26. Множества и понятия
- •27. Пересечен ие множеств
- •28. Объединение множеств
- •29. Законы пересечения и объединения множеств
- •30. Дополнение подмножества
- •31. Понятие разбиения множества на классы
- •32. Некоторые задачи, связанные с операциями
- •33. Декарто во умно жение множеств
- •34. Изображе ни е декартова произведения двух числовых
- •35. Некоторые задачи, связанные с декартовым умножением
- •§ 6. Отн ош ен ия и соотве тствия
- •36. Понятие отношения
- •37. Способы задания отношений
- •38. Свойства отношений
- •39. Отношение эквивалентности
- •40. Отношение порядка
- •41. Понятие соответствия
- •42. Соответствие, обратное данному
- •43. Взаимно однозначные соответствия
- •44. Равномощные множества
- •§ 7. Понятие числа
- •45. Об истории возникновения понятий
- •46. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет
- •47. Теоретико-множественный смысл количественного
- •§ 8. Понятие действий над целыми
- •48. Сложение
- •49. Законы сложения
- •50. Отношения «равно» и «меньше»
- •51. Вычитание
- •52. Отношения «больше нал и «меньш е на»
- •53. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа
- •54. Умно жение
- •55. Законы умноже ния
- •56. Деление
- •57. Отнош ения «больше в» и «меньше в»
- •58. Правила деления суммы на число и числа
- •59. Дел ение с остатком
- •60. Свойства множества целых неотрицательных чисел
- •§ 9. Смы сл натурального числа и действий
- •61. Сравнение отрезков. Действия над отрезкам и
- •63. Смысл сложения и вычитания чисел,
- •64. Смысл ум ножения н деления чисел,
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел
- •66. О возникновении и развитии способов записи
- •67. О записи чисел в Древней Руси
- •68. Сло жение многозначных чисел
- •69. Вычитание многозначных чисел
- •70. У множени е многозначных чисел
- •72. Запись чисел в позиционных системах счисления,
- •73. Действия над числами в позиционн ых системах счисления,
- •§ 11. Д ел им ость ц елы х нео трицательных чисел
- •74. Понятие отно шени я делим ости
- •75. Свойства отно шения делим ости
- •76. Делимость сумм ы, разно сти и про изведения
- •77. Признаки делимости чисел
- •78. Наибольш ий об щий делитель
- •79. Признаки делимости на составные числа
- •80. Н ахож дение наиб ольш его общего делителя
- •81. Алгоритм Евклида
- •Глава I II
- •§ 12. Полож ительны е рац иональные чи сл а
- •82. Понятие дро би
- •83. Понятие по ложительного раци онал ьно го числа
- •85. Умно жение и деление
- •86. Упорядоченность м ножества положитель ных
- •87. Запись положите льных рациональных чисел
- •8 8. Б е с кон ечны е д е с ятичн ы е п е р и о д и ческ ие д р о б и
- •§ 13. Действительн ые числ а
- •89. Понятие положительно го иррационального числа
- •Глава IV
- •§ 14. Ч исловые р авен ства и нера венства
- •§ 15. Ура вне ния и неравенств а
- •§ 16. Функции
- •Глава V
- •§ 17. П о н я ти е величи ны и ее и з м ер ен и я
- •§ 18. Длина, п л о щ а д ь, м асса, вр емя
- •Глава I. Общие понятия математики
- •§ I. Математические п о н я ти я ......................................................................—
- •§ 2. Математические предло жения................................................................
- •§ 3. Математические доказательства.......................................................... 32
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение................................................................ 43
- •§ 5. Множества и операции над н и м и .......................................................... 61
- •§ 6 Отношения и соот ветствии...............................................
- •Глава II. Целые неотрицательные ч и с л а .......................................................... 123
- •§ 7 Понятие ч и с л а ........................................................................................—
- •§ 8. Понятие действий над целыми неотрицательными числами . . . .
- •§ 9. Смысл натурального числа и действий над числами — результатами из
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действии над
- •Глава III . Расширение понятия ч и с л а ...................................
- •§ 12. Положительные рациональные числа . . .
- •Глава V. Величины и их изм ерения...................................................................... 277
- •§ 17. Понятие величины и ее и змер ения..........................................................278
- •§ 18. Длина, площадь, масса, в р е м я .......................................................... ....287
30. Дополнение подмножества
Чтобы объясн ить учаще муся, что 5 — 3 = 2, часто используют
такой прием. Берут 5 предметов, например 5 кружков. После того
как учащиеся убедятся при помощи счета, что кружков действи
тельно 5, им предлагают 3 кружка убрать и сосчитать, сколько
кр ужков осталось. Осталось 2, значит, 5— 3 = 2.
В чем суть приема? Из данного множества, в котором а элементов,
удаляют подмножество, содержащее Ь элементов. Тогда в о став
шейся части множества а — Ь элементов.
При помощи кругов Эйлера данная ситуация представляется на
рисунке 37, где заштрихована та часть, которая осталась после
удаления из множества Л подмножества В. Э ту часть называют
дополнением множества В до множества Л.
О п р е д е л е н и е . Пусть В с : Л. Дополнением множества В до
множества Л называется множество, содержащее только те элементы
множества А, которые не принадлежат множеству В.
Дополнение множества В до множества Л (при
условии, что В а А ) обозначают Л \ В.
Операция, при помощи которой находят допол
нение подмножества, называется вычитанием.
Как находят дополнение подмножества в кон
кретных случаях? Прежде чем рассмотреть приме
ры, заметим, что согласно определению дополнения
хЈ А\В<^хЈ А и х{[В
78
Если
элементы множества Л и В перечис
лены, то, чтобы найти Л \ В, достаточно
перечислить элементы, принадлежащие А
и не принадлежащие В. Так, если Л = {1, 2,
В том случае, когда указаны характе
ристические свойства элементов множеств
А и В ( В с : Л), характеристическое свойство
множества А \ В имеет вид «л:ЈЛ и х ЈВ ».
Найдем,например, дополнение множества В
до множества А при условии, что А — это
множество четных чисел, В — множество чи
сел, кратных 4, и определим, содержатся ли
в этом дополнении числа 20 и 26.
Так как все числа, кратные 4, четные, то В сг Л . Если из мно
жества А удалить все числа, кратные 4, то в нем останутся четные
числа, не кратные 4. Значит, А \ В — множество четных чисел, не
кратных 4. Характеристическое свойство элементов этого множе
ства — «быть четным числом и не кратным 4».
Нетрудно видеть, что 20Ј Л \ В, поскольку 20 — четное число и
кратно 4, а 26ЈЛ\В, так как 26 — четное число и не кратно 4.
Выясним теперь, из каких чисел состоит множество Л\ВПС>
если А — множество четных чисел, В — множество чисел, кратных
4, С — множество чисел, кратных 6.
В записи множества Л \ В П С нет скобок. Возникает вопрос:
какое действие выполнять первым? Условились считать, что опе
рация пересечения множеств является более «сильной», чем
вычитание. Поэтому порядок выполнейия действий над множест
вами в записи Л \ В П С следующий: сн ачала находят пересечение
множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из
множества А.
Пересечение множеств В и С состоит из чисел, кратных 4
и 6. Если удалить это пересечение из множества А, то в нем останут
ся четные числа, не кратные 4 и 6 (одновременно). При помощи
кругов Эйлера данные множества Л, В и С можно изобразить
так, как на рисунке 38. Дополнение пересечения множеств В и С
до множества Л на нем изображено штриховкой.
Упражнен ия
1. Сформулируйте условия, при которых истинны следующие
высказыван ия:
1) 5ЈЛ \В ; 2) 7ЈА \ В.
2. Известно, что хЈ А \ В. Следует ли отсюда, что:
1) хЈА; 2) лгЈВ?
3. Найдите дополнение множества С до множества D, если:
1) С = {а, б./в . г, д, е}\
2) С ={41, 42);
3) С = {9, 10, 11, 12);
D = {a , б, в, г, д, е, ж , и}-,
Ј>= {40, 41, 42, 43, 44);
Ј>= {И, 9. 12, Ю).
79
4
.
Даны
множества: А — множество натуральных
чисел; В —
множество натуральных чисел, кратных 7. Верно ли, что:
1) 84еА \ В; 2) 17 6Л \8 ?
5. Найдите дополнение множества Y д о. множества X, если:
1) У — множество точек отрезка А В, X — множество точек пря
мой А В;
2) Y — множество точек квадрата. Л' — множество точек круга, в
который вписан данный квадрат.
6. F — множество равнобедренных треугольников, И — множе
ство равносторонних треугольников.
Начертите два треугольника, принадлежащие множеству F\H.
7. Из каких чисел состоит дополнение:
1) множества натуральных чисел до множества целых;
2) множества целых чисел до множества рациональных;
3) множества рациональных чисел до множества действитель
ных?
8. Какие числа принадлежат множеству A \ B [jC , если:
1) А — множество натуральных чисел; В — множество нату
ральных чисел, кратных 7; С — множество натуральных чисел,
кратных 3;
2) А — множество натуральных чисел; В — множество натураль
ных чисел, кратных 4; С — множество натуральных чисел, кр ат
ных 8?
У к а з а н и е . Операции вычитания и объединения множеств
в случае отсутствия скобок выполняются по порядку.
9. Проиллюстрируйте при помощи кругов Эйлера, что для любых
множеств А , В и С, таких, что B czA , CczA , истинны равенства:
1) А \ ( В [)С ) = (А\В)0 (А\С У.
2) А \ ( В ( ] С ) = (А \ В М А \ С ).
10. Назовите все множества, о которых идет речь в задаче:
1) У Коли 10 книг, 2 книги он подарил товар ищу. Сколько
кинг осталось у Коли?
2) На катке катали сь 7 мальчиков. Девочек было на 2 меньше,
чем мальчиков. Сколько девочек было на катке?
11. Установите, какое множество является дополнением одного
множества до другого в каждой из задач:
1) Пионеры сделали 10 игрушек. И з них 8 игрушек они отда
ли в детский сад. Сколько игрушек осталось у пионеров?
2) У Ва ни 6 значков, а у Лены на 2 з начка меньше. Сколько
значков у Лен ы?