3. Опред еление понятий

В с одержание пон ятия о каком -либ о ма тематическом о бъе кте

входит много различны х с ущес тве нны х свойств эт ого об ъек та.

О днако чтобы установ ить, сод ержитс я ли объек т в о бъеме д анного

по нятия (т. е. распозн а ть е го) , необходимо пр ове рить наличи е

у него лиш ь некоторых существенн ых свойств. Указание этих

с ущественных свой ств о бъекта, которые достаточны д л я р аспозна

ния объекта, на зыва ется определением понятия об этом об ъекте.

Во обще определение — это логич еская операция, раскрываю

щая содержание понятия.

Спо собы опред елени я понятия различны. Прежде всего р а зли

чают явные и неявные опреде ления.

Явные определения имеют форму р авенс тва, со впадения двух

пон ятий . Н априме р, прямоугольн ый треуг ольник — это т ре

угольник с прямы м углом. Если о бозн ачить чере з а пон ятие «пря

моугольный треу го льни к», а через b понятие «треуголь ник с пря

мым углом», то схе ма д анного определения прям оуголь ного

треугольника будет т акова: «а есть Ь».

Неявные определения не имеют ф ормы совпад ения двух по ня

тий. П ример ами таких определений яв ляются т ак назы ва ем ые

контекстуальные и остенсивные опред еления.

В контекстуальных опр еде лени ях с одержание нового понятия

р аскры ва е тся через отрыво к текс та, через конт екст, через а нализ

конкретном ситуации, опис ывающей Смысл вв одимого пон ятия.

Примером конте кстуаль ного опре дел ения может б ыт ь определ е

ние уравн ения и его решения, приведенное в пробном учебнике

для II к л асса1. З десь после за пис и 3 + д: = 9 и перечня чисел 2, 3, б

и 7 идет текст: «х — не известное число, которое надо найти.

Какое из этих чисел надо поставить вместо х, чтобы ра ве нс тво

было верным? Это число 6». Из этого текст а следует, что уравне

ние — это р авенст во с неизве стным числом, которое над о найти, а

1 М и р о Л\. И. и д р. М атем ати к а, 2 класс : Пр обный у чебник,— ДА., 1986.

8

решить уравн ение — это зн ачит найти тако е зн аче ние л :, при

подс тановке которого в ур авне ние полу чае тся верное равенство.

Ост енсивны е определения используются д ля вве дения тер ми

нов путем демонстр ации об ъект ов, кот орые этими т ермин ами о бо

зн ачают. П оэтому ос тенсивные опре деления называют е ще опре

делениями путем показа . Н апр име р, т аким способом о пределя

ются в начальной школе поняти я раве нства и не равенст ва.

2 - 7 > 2- 6

78 — 9 < 7 8

37 + 6 > 37

9-3 = 27

6-4 = 4-6

1 7 - 5 = 8 + 4

Это нераве нства Это равенства

В явных определениях , ка к у же было отмечено, отождеств

ляются д ва по няти я. Одно из них на зыва ют опре деляемым поня

тием, д ругое — опред еляю щим. Ч ере з опр еде ляющее р а скр ывает

ся с о держание определяемого понятия.

П роанализир уем, на пример, струк туру о пр еде ления квадрата:

«Квад ратом на зы вается пря моугольник, у которого все стороны

равны». Она т акова: с начала указано опред еляем ое пон ят ие—

«квадр ат», а за тем приведено о пр еде ляющее, кото рое включа ет

свойства : быт ь пря моуголь ником; иметь все равн ые стороны.

Свой ство «б ыть пря моуголь ником» указывает, что все к вад

раты явл яют ся пря моуго льни ками, т. е. по нятие « прямоугол ьник»

яв ляется более о бщим, чем пон ят ие «квадрат ». Его называют

родовым по отношению к опр еде ляемом у понят ию « квадрат ».

Второе свойство — « иметь р а вные с тор оны» — это у к а зани е

видового свойства, которое отличает квад рат от других видов

прямоугол ьника .

Та кую же стру ктуру имеют и д ругие определени я школьного

курса ма тем атики. Схематично структуру таких определ ений

мо жно представи ть следующим о бра зом :

Опред еляем ое

понятие

Ро довое

поняти е

+

Видовое

о тл ич ие

Определяющее по нят ие

Опред елени е поня тия по т акой схеме называю т опред елением

чер ез род и видовое отличие.

Вс треч аются в математике и определ ения, построенные по-

другому. Рас смо трим, наприм ер, так ое опр еделение т реугольника:

«Тр еугольни ко м называетс я ф игу ра, котор ая состоит из трех т о

чек, не л е жащ их на одной пр ямой, и трех попарно соединяющих

их отрезк ов». В этом определ ении у каза но родовое пон ятие по

отношению к треугольник у — фигур а, а зат ем дан способ пос трое

ния т акой фигур ы, которая явл яется т реугольнико м: взя ть три

9

точки, не л е жащие на одной прямой , и соедин ить каж дую их пару

от резком. Такие опреде лени я на зы вают ге нетическими1.

О б ратимся теперь к о пре делению а рифмет ич еско й про гресс ии:

«Ар ифмети ческой прогр ессией на зыва ется ч исло вая по следова

те льност ь, к аждый член которой, на чиная-со второг о, равен пре

д ыдущ ему, с ложенном у с одним и тем же числом». З д есь опре деляе

мое понятие — «ариф метическ ая прогрессия », родово е понятие —

«число вая посл едо ва тел ьность» , а дал ее опис ыва ется способ по

л учения всех членов прогресс ии, начи на я со второго. Это о пр еде

л ение мо жно записать в вид е формулы a„ = an- i + d , где

2.

Та кое опр еделение на зыва ют ин дуктивны м3 или рекурре нт ным3.

В на чальн ом курсе математи ки имеется очень небольшое число

по нятий, которы м д ают о предел ения чере з ро д и видовое отличие.

Так, наприм ер, о пр еде ляю т ум ноже ние : «Сложение одина ковых

слагаемых называ ется умножением ». Но ч аще при вве дении по

нятий в на чал ьной школе используют остенси вны е и контексту

аль ны е опре деления . Иногда вс треч аются определ ения, сочета ю

щие контекс т и по каз. Приме ром такого определени я яв ляется

определение пря моуго льника, при вед енное в уч ебнике ма тематики

для II кл асс а. З десь на рисо ваны (п ок азаны) четырехугольни ки

и приведен текст: «У этих четырехугольни ков все углы прямы е».

Под рисунком на писано: «Это прям оугольники ».

Упражнения

1. Укажите б л ижайш ее родовое понятие для поня тия: 1) пря

моугольник; 2) отрезок; 3) нечетное число; 4) о кружнос ть.

2. В каких сл учаях вер но утвержд ение « Понятие а яв ляется

родовым по отношен ию к понятию 6»: 1) а — много угольник,

Ь — т реугольни к; 2) а — угол, b — острый угол; 3) а — луч,

b — прямая; 4 ) а — ромб, Ь — квадрат?

3. В ни жеприведенных определени ях вы делите опред еляемое

понятие, родовое по нятие и видовое отличие: I) Прям ые называют

ся па рал лельным и, если они л ежат в одной плоскост и и не

пересекаются. 2) Треу го льни к называется р авно бед ренн ым , если

хотя бы две его стороны равн ы. 3) Значение пер еменной, которое

обращ а ет уравнени е в истинн ое равенство, на зыва е тся корнем

ур авнения. 4) О трезок, соединяющий се редины двух сторон тре

угольника, называется его ср едней линией.

4. П риведите примеры генетических и индукти вных определе

ний из курса алгебры.

5. Понятие « трех зна чное число» вво дит ся в на чал ьных клас

са х так : у чащ имся пред лагае тся о твет ить на вопр ос: «Сколь ко

всего циф р (з на ков) ис пользуе тся д ля записи к ажд ого из чисел:

1 От сл о ва « генезис» , т. с. пр оисхож дение.

От слова « индукции», т. е. наведение на р асс уж дение от частно го к общ ем у.

3 От сл ови « рекур си я», т. с. во звращ ение.

10

582, 336, 400, 841, 804, 333, 565?» Затем учитель делает за клю че

ние: «Это тр ехзн ачн ые числа».

Как им обр азом в этом случ ае определено понятие т рехзнач

ного числа?

6. С поня тием « пр отиво по ложные сторо ны прям оугол ьника »

уч ащихся зн ако мят так: «Кр асны ми лин иями об озна чены две

прот ивопол ожные стороны прямоугол ьника, а синими лини ям и —

д ве другие пр отивополо жные стороны».

Каки м образом опред елено это по нятие, если в учебнике,

кроме текста, ес ть е ще и с оответств ующий ри сунок?

7. Установите , каким о бразом определ яют ся в мате мат ик е

I— IV кл ассо в пон ятия : 1) математическое выражение; 2) д е ле

ние; 3) произвед ение; 4) нечетное число; 5) пери метр; 6) о дно

зна чное число; 7) д вузначное число; 8) с антиметр .