29. Законы пересечения и объединения множеств

Как известно, операции сложения и умножения чисел подчи

няются ряду законов: переместительному, сочетательному и др.

Сущ ествуют ли какие-либо законы для хпераций пересечения

и объединения множеств? Существуют, и некоторые из них мы уже

использовали. В частности, находя пересечение или объединение

множеств, мы не за дум ывались над порядком оперирования

множествами. И это потому, что из определений пересечения и объ

единения множеств вытекает для любых множеств Л и В справед

ли вость равенств Л П В = В Г)Л и Л и В = В и Л , которые представляют

собой запись переместительных законов пересечения и объединения

множеств.

Д ля пересечения и объединения множеств справедливы та кже

сочетательные законы: для любых множеств Л, В и С выполняют

ся равенства

(ллв)пс =лп(впс). (лив)ис=ли(вис).

Заметим, что назначение скобок в этих записях то же, что и в

записях операций над числами.

Наглядно представить сочетательные законы можно при помощи

кругов Эйлера. Рассмотрим, например, сочетательный закон пере

сечения множеств. Изобразим множества Л, В и С в виде трех

попарно пересекающихся кругов (рис. 34). В выражении ( Л П В)П С

скобки определяют порядок действий: сначала выполняется пере

сечение множеств Л и В — оно отмечено на рисунке 34, а верти

кальной штриховкой, а затем находят пересечение полученного мно

жества и множества С. Если отметить множество С горизонтальной

штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изобра

жать множество ( Л П В )П С .

Обрати мся теперь к рисунку 34, б. Здесь сначала выполняется

пересечение множеств В и С — оно отмечено на рисунке верти

кальной штриховкой, а затем находят пересечение множества Л с

полученным множеством. Если отметить множество Л горизонталь

ной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет

изображать множество Л П (В Г)С).

Рис. 34

Гб

Видим, что области, представляющие на рисунке множества

(Л П б ) П С и Л П (# П С ). одинаковы, что и подтверждает справед

ливость сочетательного закона пересечения множеств.

Аналогично можно выполнить иллюстрацию и для сочетательного

закона объединения множеств.

Каково назначение рассмотренных сочетательных законов? Они

объясняют, как находить пересечение и объединение трех множеств,

зная правило для двух. Кроме того, на основании сочетательных

законов скобки в выражениях (ЛПВ)П С , Л Л (В П С ) можно опускать

и писать: Л П В П С /11)^11 С.

Сочетательные законы пересечения и объединения йножеств

можно распространить на любое число множеств.

Пересечение и объединение множеств связаны друг с другом

распределительными законами: для любых множеств Л, В и С

справедливы равенства

(Л1|В)ПС = (Л П С)и(ЛЛ С),

(ЛП В)и С = (Л11С)П(ВиС).

(1)

(2)

Заметим, что если в выражении есть знаки пересечения и объеди

нения и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как

считают, что операция пересечения более «сильная», чем объеди

нения. В связи со сказанным запись распределительного закона пере

сечения относительно объединения (1) можно упростить, опустив

скобки в правой части равенства.

Упражнения

1. Принадлежит ли элемент х объединению множеств Л, Б и С,

если:

1) х б Л ; 2) хЈА и хЈВ\ 3) х ^А , х Ј В и хЈ С; 4) х ^А, но х ЈС ;

5) х ЈА , но х Ј С и х Ј В?

2. Сформулируйте условия, при которых элемент у будет при

н адлежать множеству Л |"|В ЛС.

3. В каком порядке надо выполнять действия над множеств а

ми в выражении:

1) Л и В П С ; 2) Л П ( в и С ) ; 3) A f)B[} C>

4. Л — множество натуральных чисел, меньших 20, а В, С и D —

его подмножества, причем В состоит из чисел, кратных 3, С — из

чисел, кратных 4, D — из четных чисел. Какие числа являю тся

элементами множеств:

1 )(Л П В ) П С ; З ) Л и ( В и С ) ; 5 ) Л П В и С ;

2) Л П (ЯП С ); 4) (Л и В Ю С ; 6) А Г[(В[]С )7

Назовите среди множеств пары равных.

5. Исп ользуя круги Эйлера, проиллюстрируйте справедливость:

1) сочетательного закона объединения множеств;

2) распределительного закона пересечения относительно объе

динения.

Рис. 35

Рис. 35

6. Установите, к акая из областей, выделенных штриховкой на

рисунках 35 и 36, изображает множество Л и # Л С.

7. X — множество двузначных чисел, Y — множество четных чи

сел, Р — множество чисел, кратных 4. Каковы характеристические

свойства элементов множеств A = X f [ Y { \ P и В = (А' у Y) Л Я ?

Изобр азите множества X, Y, Р, А и В при помощи кругов

Эйлера. Назовите три числа, принадлежащие множеству Л, и три

числа, принадлежащие множеству В.

8. А — множество ромбов, В — множество треугольников, С —

множество многоугольников, содержащих угол 60°. Начертите две

фигуры, принадлежащие множеству Л' = Л Л С и В Л С .