28. Объединение множеств
Д ля того чтобы объяснить школьнику, что 2-(-3 — это 5, учи
тель берет 2 красных кружка и 3 синих. Просит пересчитать
эти кружки, затем предлагает к красным кружкам придвинуть синие
(т. е. объединить эти две совокупности, два множества) и пере
считать все кружки полученной совокупности. Устанавли вается,
что их 5, т. е. 2+ 3= 5. Таким образом, сложение чисел опи
рается на операцию объединения двух множеств.
В рассмотренном примере объединялись множества, не имею
щие общих элементов. В математике приходится выполнять объеди
нение и пересекающихся множеств.
О п р е д е л е н и е . Объединением множеств А и В называется
множество, содержащее только такие элементы, которые принадле
жат множеству А или множеству В.
Объединение множеств А и В обозначают А \]В.
Если изобразить пересекающиеся множества А и В при помощи
кругов Эйлера, то их объединение изобразится заштрихованной
областью (рис. 30).
Если множества А и В не пересекаются, то их объединение изоб
ражают так, как это сделано на рисунке 31.
Операция, при помощи которой находят объединение множеств,
называется та кже объединением.
Как находят объединение множеств в конкретных случаях ?
Прежде чем рассмотреть примеры, заметим, что согласно опреде
лению объединения х Ј А { ] В о хЈА или х ЈВ
Рис. 30
Рис. 31
73
Ркс- 32
Если элементы множеств Л и В перечисле
ны, то, чтобы найти А [ ] В , достаточно пере
числить элементы, принадлежащие А или В,
т. е. хотя бы одному из множеств. Так, если
А — {2, 4, 6, 8), В = {5, 6, ?, 8, 9), то А [ ] В = {2, 4,
А как быть в том случае, когда множества
заданы при помощи характеристических свойств
их элементов?
Из определения следует, что характеристи
ческое свойство множества А [ ] В составляется
из характеристических свойств множеств Л и В с помощью союза
«или».
Найдем, например, объединение множества А четных чисел и
множества В двузначных чисел. Так ка к свойство элементов мно
жеств а А — «быть четным числом», а свойство элементов множе
ства В — «быть двузначным числом», то в объединение данных мно
жеств войдут числа, характеристическое свойство которых — «быть
четным или двузначным числом». Такие числа образуют бесконечное
множество, но сформулированное характеристическое свойство поз
воляет однозначно определять, содержится тот или иной элемент в
объединении множеств Л и В или нет. Например, в Л и В есть
числа: 8, поскольку оно четное; 17, поскольку оно двузначное;
36, поскольку оно четное и двузначное.
Выясним теперь, что представляет собой объединение множе
ства Л — четных натуральных чисел и множества В — натуральных
чисел, кратных 4. Ранее было установлено, что В с: Л. Поэтому
элементами, принадлежащими множеству Л и В, будут элементы
множества Л (рис. 32). Следовательно, в данном случае Л и В = Л.
Упражнения
1. Сформулируйте условия, при которых истинны следующие
высказывания: 1) 5 ЈЛ и В ; 2 ) 7 ^ Л у В .
2. Известно, что хЈА. Следует ли отсюда, что дг^ЛиВ?
3. Известно, что х Ј А [ )В . Следует ли отсюда, что х ЈА?
4. Известно, что х ЈЛ и х 6 В. Следует ли отсюда, что * ( M U B ?
5. Запиш ите множество К однозначных натуральных чисел, я в
ляющихся нечетными или кратными 3. Выразите это множество через
множество Л однозначных нечетных чисел и множество В одно
значных чисел, кратных 3.
6. Изобразите при помощи кругов Эйлера объединение множеств
Л и В , если: 1) Л с В ; 2) В с Л .
7. Найдите объединение множеств Л и В , если:
1) Л = (а, Ь, с, d, е, f)\
В-
ь, е, I k, /};
2) Л ={26, 39, 5, 58, 17, 81};
В = 17, 26, 58};
3) Л ={26, 39, 5, 58, 17, 81);
В
8. Из каких элементов состоит объединение множества букв в
слове «математика » и множества букв в слове «геометрия»?
74
9.
М — множество однозначных натуральных
чисел, Р — множе
ство нечетных натуральных чисел. Каки е числа войдут в объеди
нение множеств М и Р ? О кажутс я ли в нем числа 4, 14, 17?
О твет запишите, используя знаки 6 и Ј.
10. Найдите объединение множеств решений неравенств, в
которых переменная х принимает действительные значения:
1 ) х > — 2, лг>0 ;
3) х ^ 5 , х < . — 7,5;
5) - 7 < jc< 5, - 6 < х < 2 .
2) х > — 3,7, дг<4;
4) — 2<x-<4,
— 1;
11. Какую фигуру будет представлять объединение-двух тре
угольников, если их пересечением являетс я: 1) треугольник; 2) ш е
стиугольник; 3) отрезок?
12. Начертите две фигуры, принадлежащие объединению мно
жеств С и D, если:
1) С — множество квадратов, D — множество прямоугольников;
2) С — множество прямоугольных треугольников, D — множе
ство тупоугольных треугольников.
13. Установите, какие из фигур, приведенных на рисунке 33, со
держатся в объединении множества ромбов и множества прямо
угольников.
14. Что представляет собой пересечение треугольника A B C и
его стороны А В ? А их объединение?
15. Изобразите на координатной прямой множество тех зна
чений переменной х, при которых обращается в истинное выска зы
вание предложение: 1) х ^ — А и * ^ 1 ; 2) л : ^ — 2 или х ^2 \
3) U l < 3 ; 4) \х \^4.
16. Назовите все множества, о которых идет речь в задаче:
1) У школы посадили 4 липы и 3 березы. Сколько всего де
ревьев посадили у школы?
2) Пионеры помогали колхозу в уборке моркови. Один отряд
собрал 40 корзин моркови, а другой — на 10 корзин больше. Сколько
корзин моркови собрали оба отряда?
17. Установите, какое множество является объединением двух
других рассматриваемых в задаче: I ) У Коли было 6 книг. В день
рождения ему подарили еще 4 книги. Сколько книг стало у Коли ?
2) У дома росли 2 сосны, а у моста — на 4 сосны больше.
Сколько сосен росло у моста?
3) На каждой тарелке 5 яблок. Сколько яблок на 3 тарелках?
75