25. Отношения меж ду множествами

Даны два множества: А — {а, Ь, с, d, е) и B = [b, d, k, еJ. Видим, что

лементы b u d принадлежат одновременно множеству А и множе-

тву В. Говорят, что b u d — общие эле!*енты множеств Л и В, а

сами множества пересекаются.

Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они

не пересекаются.

Рассмотрим теперь множества А = {а, Ь, с, d, <?} и В = [с, d, е).

Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В

явл яется элементом множества А. В этом случае говорят, что

множество В включено в А или что множество В является подмно

жеством множества А.

О п р е д е л е н и е . Мн ожество В называется подмножеством

множества А, если каждый элемент множества В является также

элементом множества А.

Если В — подмножество множества А, то пишут: B cz A — и

читают: «В — подмножество А». «В включается в Л».

Счи тают, что пустое множество является подмножеством лю

бого множества, т. е. 0 с :А , и что любое множество является под

множеством самого себя, т. е. Л с Л . Поэтому среди всех подмно

жеств заданного множества А должно быть обязательно пустое

множество и само множество Л.

Выпишем, например, все подмножества множества Л = { 2, 3, 4).

Среди них будут одноэлементные подмножества: (2), |3}, (4), двух

элементные: (2, 3), (2, 4}, (3, 4), а также само множество Л: (2, 3, 4)

и 0 . Таким образом, данное множество Л имеет 8 подмножеств.

Обратимся теперь к множествам Л = {а, Ь, с, d,e)n В ={с, а, b, е, d).

Они пересекаются, и каждый элемент множества Л явл яется эле

ментом множества В, т. е. А а В, и, наоборот, каждый элемент

множества В является элементом множества Л, т. е. В с: Л. В этом

случае говорят, что множества А и В равны.

О п р е д е л е н и е . Множе ства Л и В наз ываются равными,

если Л е й и В а А .

Если множества А и В равны, то пишут: А = В.

И з определения вытекает, что равные множества состоят из

одних и тех же элементов и что порядок записи элементов мно

жества не существен.

Наглядно отношения между множествами изображают при по

мощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера1. Д ля этого

множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют

при помощи кругов, овалов или любых других геометрических

фигур.

1 Леонард Эйлер (1707— 1783) — член Петербургской академии наук. Л. Эйлер

родился в Швейцарии. В 1727 году по приглашению Петербургской академии наук

приехал в Россию, где вырос в крупнейшего математика. Огромно научное насле

дие Эйлера, в списке его трудов более 800 названий.

66

Например, отношение включения между множествами А — (о, Ь, с,

d, е} и В — [с, d , е) можно представить при помощи кругов Эйлера

так, как на рисунке 21.

Множества А = { а , Ь, с, d, е) и B = [b, d, k, е} пересекаются, но

ни одно из них не являет ся подмножеством другого. Поэтому при

помощи кругов Эйлера они изображаются так, как на рисунке 22.

Непересекающиеся множества изображают при помощи двух

кругов, не имеющих общих точек (рис. 23).

Устанавливать отношения между множествами — важное умение

для учителя. Дело в том, что математика и другие науки изу

чают не только определенные объекты и явлення, но и взаимосвязи,

в том числе и отношения между множествами.

Выясн им, например, как связ аны между собой множество А чет

ных чисел и множество В чисел, кратных 4. В каком из случаев,

представленных на рисунке 24, отношение между данными множе

ствами изображено верно?

Проанализируем данные изображения. Из рисунка 24,а следует,

что все четные числа делятся на 4, что неверно: можно наз вать

четные числа, которые не делятся на 4, например 14. Этот контр

пример сразу делает невозможным равенство данных множеств, т. е.

случай, представленный на рисунке 24, в. Рисунок 24, б говорит

о том, что среди чисел, кратных 4, есть четные, но есть и такие,

которые не делятся на 2, что такж е неверно: нетрудно доказать,

что любое число, кратное 4, четно. Следовательно, множество чи

сел, кратных 4, явл яется подмножеством множества четных чи

сел. Эта связь изображена на рисунке 24, г.

Рис. 21

GD

Рис. 22

СО

Рис. 23

Так же как и понятие множества, понятие подмножества в

начальной математике в явном виде не изучается, но задач, связ ан

ных с выделением части некоторой совокупности, учащиеся решают

много. Например:

«Среди данных четырехугольников укажи прямоугольники*.

«Назови среди данных чисел четные» и т. д.

Упражнения

1. Объясните, почему множество Х = {2, 4, 6} является подмно

жеством множества / = {0, 2, 4, б, 8, 10), а множество Z = {4, 6, 12}

нет.

2. Д ано множество А =(5, 10, 15, 25}. Запишите два множества,

равные множеству А.

3. Известно, что элемент а содержится в множестве Л и в мно

жестве В. Следует ли отсюда, что: 1) Л с : В ; 2) Вс=Л; 3) Л = В ?

4 . Известно, что кажды й элемент множества Л содержится в

множестве В. Верно ли, что тогда: 1) / 4 с В ; 2) Л = б ?

5. Из множества /( = {216, 546, 153, 171, 234} выпишите числа,

которые: 1) делятся на 3; 2) делятся на 9; 3) не делятся на 4;

4) не делятся на 5.

Есть ли среди полученных подмножеств такое, которое равно

множеству /С?

6. Установите, в каком отношении находятся множества реше

ний неравенств и сами неравенства: 1)* < 12 и *< 10 ; 2) *< 1 2 и

* > 15; 3) * < 12 и * > 1 0; 4) * < 12 и — 3* > — 36.

7. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между

множествами Л и В, если: 1) Л — множество четных чисел, В —

множество чисел, кратных 3; 2) Л — множество квадратов, В —

множество прямоугольников; 3) Л — множество квадратов, В —

множество прямоугольных треугольников; 4) Л — множество квад

ратов, В — множество прямоугольников с равными сторонами.

8. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между

множествами Л, В и С, если известно, что: 1 ) Л с й и В с : С ;

2) А с . В , С пересекается с В, но не пересекается с Л; 3) Л, В и С

пересекаются, но ни одно не является подмножеством другого.

9. Приведите примеры множеств X, Y и Z, чтобы отношения

между ними были такими, как на рисунке 25.

Рис. 25

68

10. Дано множество А = [ а , Ь, с, d}. Образуй те все подмно

жества А, содержащие: 1) два элемента; 2) три элемента.

11. Образуйте всевозможные подмножества множества Р = (3,

12. Установите, с какими теоретико-множественными понятия

ми встречаются учащиеся начальных классов, выполняя задание:

1) запиши по порядку числа от 10 до 19. Подчеркни и прочитай

четные числа; 2) из ряда чисел от 1 до 20 выпиши по порядку чис

ла, которые делятся без остатка на 5; 3) из чисел 27, 45, 38, 62,

53, 72, 8, 48 выпиши те, которые при делении на 5 дают в остатке 3.