
- •§ 1. Математические поняти я
- •1. Введение
- •2. О бъем и содерж ание понятия
- •3. Опред еление понятий
- •4. Требования к определ ению понятий
- •§ 2. Математичес ки е предложени я
- •5. Элем ентарные и составные предлож ения
- •6. Высказывания. Смы сл слов «и», «или», «не»
- •7. Высказывательны е форм ы
- •8. Смысл слов «все» и «некоторые»
- •9. Правила построения отрицаний высказываний,
- •2) Квантор общ ности (сущ ествования) заменяется квантором
- •10. Отнош ения следования и равносильности меж ду
- •11. Необходим ые и достаточные условия
- •12. Струк тура теоремы . Виды теорем
- •§ 3. Математичес ки е д о казательс тва
- •14. Простей шие схемы дедуктивных рассуждений
- •15. Неполная индукция
- •16. С пособы доказательства истинности высказываний
- •§ 4. Те ксто вые за д ачи и их реш ени е
- •18. Способы решения текстовых задач
- •19. Этапы решения задач арифметическими способами.
- •20. Приемы поиска плана решения задачи и его выполнение
- •21. Приемы проверки реш ения задачи
- •22. Решение задач алгебраическими способами
- •§ 5. Множества и операции над ни ми
- •23. Понятия множества и элемента множества
- •24. Способы задания множеств
- •25. Отношения меж ду множествами
- •26. Множества и понятия
- •27. Пересечен ие множеств
- •28. Объединение множеств
- •29. Законы пересечения и объединения множеств
- •30. Дополнение подмножества
- •31. Понятие разбиения множества на классы
- •32. Некоторые задачи, связанные с операциями
- •33. Декарто во умно жение множеств
- •34. Изображе ни е декартова произведения двух числовых
- •35. Некоторые задачи, связанные с декартовым умножением
- •§ 6. Отн ош ен ия и соотве тствия
- •36. Понятие отношения
- •37. Способы задания отношений
- •38. Свойства отношений
- •39. Отношение эквивалентности
- •40. Отношение порядка
- •41. Понятие соответствия
- •42. Соответствие, обратное данному
- •43. Взаимно однозначные соответствия
- •44. Равномощные множества
- •§ 7. Понятие числа
- •45. Об истории возникновения понятий
- •46. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет
- •47. Теоретико-множественный смысл количественного
- •§ 8. Понятие действий над целыми
- •48. Сложение
- •49. Законы сложения
- •50. Отношения «равно» и «меньше»
- •51. Вычитание
- •52. Отношения «больше нал и «меньш е на»
- •53. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа
- •54. Умно жение
- •55. Законы умноже ния
- •56. Деление
- •57. Отнош ения «больше в» и «меньше в»
- •58. Правила деления суммы на число и числа
- •59. Дел ение с остатком
- •60. Свойства множества целых неотрицательных чисел
- •§ 9. Смы сл натурального числа и действий
- •61. Сравнение отрезков. Действия над отрезкам и
- •63. Смысл сложения и вычитания чисел,
- •64. Смысл ум ножения н деления чисел,
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел
- •66. О возникновении и развитии способов записи
- •67. О записи чисел в Древней Руси
- •68. Сло жение многозначных чисел
- •69. Вычитание многозначных чисел
- •70. У множени е многозначных чисел
- •72. Запись чисел в позиционных системах счисления,
- •73. Действия над числами в позиционн ых системах счисления,
- •§ 11. Д ел им ость ц елы х нео трицательных чисел
- •74. Понятие отно шени я делим ости
- •75. Свойства отно шения делим ости
- •76. Делимость сумм ы, разно сти и про изведения
- •77. Признаки делимости чисел
- •78. Наибольш ий об щий делитель
- •79. Признаки делимости на составные числа
- •80. Н ахож дение наиб ольш его общего делителя
- •81. Алгоритм Евклида
- •Глава I II
- •§ 12. Полож ительны е рац иональные чи сл а
- •82. Понятие дро би
- •83. Понятие по ложительного раци онал ьно го числа
- •85. Умно жение и деление
- •86. Упорядоченность м ножества положитель ных
- •87. Запись положите льных рациональных чисел
- •8 8. Б е с кон ечны е д е с ятичн ы е п е р и о д и ческ ие д р о б и
- •§ 13. Действительн ые числ а
- •89. Понятие положительно го иррационального числа
- •Глава IV
- •§ 14. Ч исловые р авен ства и нера венства
- •§ 15. Ура вне ния и неравенств а
- •§ 16. Функции
- •Глава V
- •§ 17. П о н я ти е величи ны и ее и з м ер ен и я
- •§ 18. Длина, п л о щ а д ь, м асса, вр емя
- •Глава I. Общие понятия математики
- •§ I. Математические п о н я ти я ......................................................................—
- •§ 2. Математические предло жения................................................................
- •§ 3. Математические доказательства.......................................................... 32
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение................................................................ 43
- •§ 5. Множества и операции над н и м и .......................................................... 61
- •§ 6 Отношения и соот ветствии...............................................
- •Глава II. Целые неотрицательные ч и с л а .......................................................... 123
- •§ 7 Понятие ч и с л а ........................................................................................—
- •§ 8. Понятие действий над целыми неотрицательными числами . . . .
- •§ 9. Смысл натурального числа и действий над числами — результатами из
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действии над
- •Глава III . Расширение понятия ч и с л а ...................................
- •§ 12. Положительные рациональные числа . . .
- •Глава V. Величины и их изм ерения...................................................................... 277
- •§ 17. Понятие величины и ее и змер ения..........................................................278
- •§ 18. Длина, площадь, масса, в р е м я .......................................................... ....287
24. Способы задания множеств
Понятие множества мы используем без определения. Но как
узн авать, явля ется та или иная совокупность множеством или
не явля ется?
Считают, что множество определяется своими элементами,
т. е. множество задано, если о любом объекте можно сказать,
принадлежит он этому множеству либо не принадлежит.
Множество можно задать, перечислив все его элементы. Н а
пример, если мы ска жем, что множество А состоит из чисел 3, 4,
63
5
и 6, то мы зададим это множество,
поскольку все его элементы
окажутся перечисленными. При этом возможна запись /1= 13,4,5,6),
в которой перечисляемые элементы заключаю тся в фигурные
скобки.
Однако если множество бесконечно,-3 то его элементы пере
числить нельзя. Трудно за да ть таким способом и конечное множе
ство с большим числом элементов. В таких случаях применяют
другой способ задания множеств: указывают характеристическое
свойство его элементов.
Характеристическое свойство — это такое свойство, которым
обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не
обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
Рассмотрим, например, множество А двузначных чисел. Свой
ство, которым обладает любой элемент данного множества,—
«бы ть двузначным числом». Это характеристическое свойство дает
возможность решить вопрос о том, принадлежит какой-либо
объект множеству А или не принадлежит. Так, число 21 содержит
ся в множестве А, поскольку оно двузначное, а число 145 множе
ству А не принадлежит — оно не является двузначным.
Случается, что одно и то же множество можно задать, ука
зав различные характеристические свойства его элементов. На
пример, множество квадратов можно задать как множество прямо
угольников с равными сторонами и как множество ромбов с пря
мыми углами.
Итак, для того чтобы задать некоторое множество, достаточно
либо перечислить все его элементы, либо указать характеристи
ческое свойство его элементов. Второй способ более общий: он
позволяет задавать и конечные и бесконечные множества в от
личие от первого способа, который, как правило, может быть ис
пользован для задания конечных множеств с небольшим числом
элементов. Иногда этот, первый способ используется и для задания
бесконечных множеств. Например, множество N натуральных
чисел может быть задано в виде ЛР= {1, 2, 3,...). Однако такой
способ записи возможен лиш ь тогда, когда по записанной части
множества ясно, что означает многоточие.
Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество
может быть задано и первым и вторым способом. Например,
множество В натуральных чисел, меньших 7, заданное посред
ством ука зания характеристического свойства его элементов,
можно задать и так: В = (1,2, 3, 4,5 ,6), т. е. перечислив все его
элементы.
В начальном курсе математики понятия мн ожества и элемен
та множества в явном виде не изучаются, но в силу их большой
общности они, по существу, пронизывают всю начальную мате
матику. Так, при выполнении задания «Запишите числа, которые
больше чем 65 и меньше чем 75» учащиеся встречаются с двумя
способами задания одной и той же совокупности чисел.
Один способ — указано свойство чисел «быть больше чем 65
64
и
меньше чем 75», другой — числа этой
совокупности перечисляют
ся: 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74. Смысл упр ажнения — перейти
от одного способа задания множества к другому.
Аналогичные задачи приходится решать младшим школьни
кам и на других уроках, в частности на уроках русского языка:
«Назовите все согласные буквы русского алфавита», «Подчерк
ните в данном упражнении все существительные», «Вып ишите
из текста все прилагательные» и т. д.
Упражнения
1. Запишите с помощью знака равенства и фигурных скобок
предложения: 1) X — множество чисел 0, 1,2, 3, 4, 5; 2) Y — мно
жество букв в слове «математика».
2. Множество С состоит из квадрата, круга и треугольника.
Принадлежит ли этому множеству диагональ квадрата?
3. Перечислите элементы следующих множеств:
А — множество нечетных однозначных чисел;
В — множество натуральных чисел, не меньших 5;
С — множество двузначных чисел, делящихся на 10.
4. Ук ажите характеристическое свойство элементов множе
ства:
2) (23, 22,21,20, 19, 18, 17, 16, 15);
3) (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99).
5. Изобразите на координатной прямой множество решений
неравенства ( * — действительное число); 1) *> 5 ,3 ; 2) * ^ — 3,8;
3) - 4 , 5 < * < 4 ; 4) 2 , 7 < *< 9 .
6. Выясните, множество решений какого неравенства изобра
жено на координатной прямой в каждом случае (рис. 20).
7. Найдите множество действительных корней уравнения:
1) 3* = * +
2) 3(5 *+ 10) = 30 + 15*;
3) + 5——3 (* -{- 1);
4) * (* + 1 6 ) = 0.
8. Л — множество двузначных чисел, запись которых оканчи
вается цифрой 1. Пр инадлежат ли этому множеству числа 28,
31, 321, 61?
т////////////////
-3
-2
1
-1
3 Заказ 147
Рис. 20
г ////////Ш & .
-3
У//////////////////////*.
65