24. Способы задания множеств

Понятие множества мы используем без определения. Но как

узн авать, явля ется та или иная совокупность множеством или

не явля ется?

Считают, что множество определяется своими элементами,

т. е. множество задано, если о любом объекте можно сказать,

принадлежит он этому множеству либо не принадлежит.

Множество можно задать, перечислив все его элементы. Н а

пример, если мы ска жем, что множество А состоит из чисел 3, 4,

63

5 и 6, то мы зададим это множество, поскольку все его элементы

окажутся перечисленными. При этом возможна запись /1= 13,4,5,6),

в которой перечисляемые элементы заключаю тся в фигурные

скобки.

Однако если множество бесконечно,-3 то его элементы пере

числить нельзя. Трудно за да ть таким способом и конечное множе

ство с большим числом элементов. В таких случаях применяют

другой способ задания множеств: указывают характеристическое

свойство его элементов.

Характеристическое свойство — это такое свойство, которым

обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не

обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Рассмотрим, например, множество А двузначных чисел. Свой

ство, которым обладает любой элемент данного множества,—

«бы ть двузначным числом». Это характеристическое свойство дает

возможность решить вопрос о том, принадлежит какой-либо

объект множеству А или не принадлежит. Так, число 21 содержит

ся в множестве А, поскольку оно двузначное, а число 145 множе

ству А не принадлежит — оно не является двузначным.

Случается, что одно и то же множество можно задать, ука

зав различные характеристические свойства его элементов. На

пример, множество квадратов можно задать как множество прямо

угольников с равными сторонами и как множество ромбов с пря

мыми углами.

Итак, для того чтобы задать некоторое множество, достаточно

либо перечислить все его элементы, либо указать характеристи

ческое свойство его элементов. Второй способ более общий: он

позволяет задавать и конечные и бесконечные множества в от

личие от первого способа, который, как правило, может быть ис

пользован для задания конечных множеств с небольшим числом

элементов. Иногда этот, первый способ используется и для задания

бесконечных множеств. Например, множество N натуральных

чисел может быть задано в виде ЛР= {1, 2, 3,...). Однако такой

способ записи возможен лиш ь тогда, когда по записанной части

множества ясно, что означает многоточие.

Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество

может быть задано и первым и вторым способом. Например,

множество В натуральных чисел, меньших 7, заданное посред

ством ука зания характеристического свойства его элементов,

можно задать и так: В = (1,2, 3, 4,5 ,6), т. е. перечислив все его

элементы.

В начальном курсе математики понятия мн ожества и элемен

та множества в явном виде не изучаются, но в силу их большой

общности они, по существу, пронизывают всю начальную мате

матику. Так, при выполнении задания «Запишите числа, которые

больше чем 65 и меньше чем 75» учащиеся встречаются с двумя

способами задания одной и той же совокупности чисел.

Один способ — указано свойство чисел «быть больше чем 65

64

и меньше чем 75», другой — числа этой совокупности перечисляют

ся: 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74. Смысл упр ажнения — перейти

от одного способа задания множества к другому.

Аналогичные задачи приходится решать младшим школьни

кам и на других уроках, в частности на уроках русского языка:

«Назовите все согласные буквы русского алфавита», «Подчерк

ните в данном упражнении все существительные», «Вып ишите

из текста все прилагательные» и т. д.

Упражнения

1. Запишите с помощью знака равенства и фигурных скобок

предложения: 1) X — множество чисел 0, 1,2, 3, 4, 5; 2) Y — мно

жество букв в слове «математика».

2. Множество С состоит из квадрата, круга и треугольника.

Принадлежит ли этому множеству диагональ квадрата?

3. Перечислите элементы следующих множеств:

А — множество нечетных однозначных чисел;

В — множество натуральных чисел, не меньших 5;

С — множество двузначных чисел, делящихся на 10.

4. Ук ажите характеристическое свойство элементов множе

ства:

2) (23, 22,21,20, 19, 18, 17, 16, 15);

3) (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99).

5. Изобразите на координатной прямой множество решений

неравенства ( * — действительное число); 1) *> 5 ,3 ; 2) * ^ — 3,8;

3) - 4 , 5 < * < 4 ; 4) 2 , 7 < *< 9 .

6. Выясните, множество решений какого неравенства изобра

жено на координатной прямой в каждом случае (рис. 20).

7. Найдите множество действительных корней уравнения:

1) 3* = * +

2) 3(5 *+ 10) = 30 + 15*;

3) + 5——3 (* -{- 1);

4) * (* + 1 6 ) = 0.

8. Л — множество двузначных чисел, запись которых оканчи

вается цифрой 1. Пр инадлежат ли этому множеству числа 28,

31, 321, 61?

т////////////////

-3

-2

1

-1

3 Заказ 147

Рис. 20

г ////////Ш & .

-3

У//////////////////////*.

65