§ 5. Множества и операции над ни ми
23. Понятия множества и элемента множества
В математике часто приходится р ассматривать те или иные
группы объектов как единое целое: ч^сла от 1 до 10, натур аль
ные числа, однозначные числа, треугольники, квадраты и т. д.
Все эти различные совокупности называют множествами.
Понятие множества является одним из основных понятий
математики и поэтому не определяется через другие. Его можно
пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве учащих
ся некоторого класса, о множестве гласных букв русского алфа
вита, о множестве натуральных чисел.
Математический смысл слова «множество» отличается от того,
61
как
оно используется в обыденной
речи, где его связы ва ют
с большим числом предметов. В математике этого не требуется.
Здесь рассматривают множество, состоящее из одного объекта, и
множество, не содержащее ни одного объекта.
В некоторых случа ях множества обозначают буквами латин
ского алф авита: А, В, С, ..., Z. Множество, не содержащее ни
одного объекта, называют пустым и обозначают знаком 0 .
Объек ты, из которых образовано множество, н азывают его
элементами. Элементы множества принято обозначать строчными
буквами латинского алф авита: а, Ь, с...... г.
В математике и других науках нередко приходится выяснять,
принадлежит какой-либо объект рассматриваемому множеству
или не принадлежит. Например, мы говорим, что число 5 нату
ральное. Другими словами, мы утверждаем, что число 5 при
надлежит множеству натуральных чисел. Или, например, гово
рим, что число 0,75 не являетс я натуральным. Это означает, что
число 0,75 не принадлежит множеству натуральных чисел.
Предложение вида «Объект а принадлежит множеству А»
можно записать, используя символы: о е Л . Пр очи тать его можно
по-разному:
Объект а принадлежит множеству А.
О бъект а — элемент множества А.
Мн ожество А содержит элемент а.
Предложение «Объект а не принадлежит множеств у А» можно
записать так: а & А . Его читают:
О бъект а не принадлежит множеству А.
О бъект а не являет ся элементом множества А.
Множество А не содержит элемента а.
Пусть А — множество однозначных чисел. Тогда предложение
« З е Л » можно прочитать: «Число 3 однозначное», а запись
«12^ё А» означает; «Число 12 не является однозначным».
Множества бывают конечные и бесконечные. Так, множество
дней педели конечно, а множество точек на прямой бесконечно.
Бесконечными являются и такие множества, как множество на
туральных чисел, множество целых чисел, множество рациональ
ных чисел, множество действительных чисел. Для этих множеств
в математике приняты специальные обозначения: буковой N обо
значают множество натуральных чисел, Z — множество целых
чисел, Q — множество рациональных чисел, R — множество
действительных чисел.
Упражнения
1. Назовите три элемента множества: 1) предметов, изучаемых
в педагогическом училище; 2) звонких согласных букв русского
алфавита; 3) натуральных чисел.
2. Прочитайте различными способами предложения: I) 12е Х *,
2) -3< ЈХ .
62
3.
В — множество четных чисел.
З н ая это, запишите с помощью сим
волов следующие предложения: 1) чис-
Јло 20 четное; 2) число 17 не я в
ляется четным.
4. Прочитайте следующие высказы
вания и укажите среди них истинные:
1) 100<=#; 2) - 8 e Z ; 3) - 8
4) 5,36 е=(?; 5) 102
6) л/2gQ;
7) - 7 е « ; 8) |-€=ЛГ; 9) 0e Z .
5. Р — множество натуральных чи
сел, больших 7 и меньших 14. В ы яс
ните, принадлежат или не принад
лежат этому множеству числа 13, 10,
5, 7, 14. Ответ запишите, используя
знаки е и
6. D — множество целых отрица
тельных чисел. Назовите пять чисел,
принадлежащих этому множеству. Вер
но ли, что — 1e Z ) ; 0 ^ D ; — 3,2е й ?
7. Даны числа: 325; 0; — 17; — 3,8;
7. Установите, какие из них принадле
жат множеству: 1) натуральных чисел;
2) целых чисел; 3) рациональных чи
сел; 4) действительных чисел.
8. М — множество точек окр ужности, изображенной на рисун
ке 17. Прочитайте следующие предложения и укажите среди
них верные: 1) Л<=М; 2) О е М ; 3) В б М ; 4) С §ёМ .
9. Измените условие задачи 8 так, чтобы все высказывани я
были верными.
10. Запишите множество отрезков, которым принадлежит
точка С (рис. 18).
11. Запишите с помощью знаков е и
какие из отрезков
А В , CD, E F и P H проходят через точку М, а какие через нее не
проходят (рис. 19).