22. Решение задач алгебраическими способами
При решении любой задачи алгебраическим способом после
анализа содержания задачи выбирается неизвестное, обозначается
буквой, вводится в текст задачи, а затем на основе выделенных
в содержании задачи зависимостей сос тавляю тся два выражения,
связанны е отношением равенства, что позволяет записать соответ
ствующее уравнение. Найденные в результате решения уравнения
59
корни
осмысливаются с точки зрения содержания
задачи, а корни,
не соответствующие условию задачи, отбр асываются. Если бук
вой обозначено искомое, оставшиеся корни могут сразу дать от
вет на вопрос задачи. Если буквой обозначено неизвестное, не
являю щееся искомым, то искомое находится на основе взаимосвя
зи его с тем неизвестным, которое было обозначено буквой.
Покажем все этапы решения алгебраическим способом на при
мере следующей задачи: «Огородный участок, имеющий форму пря
моугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, тре
буется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если из
вестно, что площадь участка равна 1200 м2».
Анали з содержания задачи и приемы его выполнения при
алгебраическом способе решения существенно не отличаются от
соответствующих приемов при арифметическом решении, поэтому
приведем лишь результаты такого анализа.
В задаче рассматривается участок прямоугольной формы. И з
вестно, что одна его сторона на 10 м больше другой, а площадь
равна 1200 м\ Требуется определить периметр этого прямоуголь
ного участка.
Периметр прямоугольника можно найти, если будут известны
длины его сторон. Поэтому обозначим через х м длину одной сто
роны. Тогда (* + 10) м — длина другой его стороны. Так как пло
щадь прямоугольника можно вырази ть через длины его сторон, то
получаем уравнение х (х + 10) = 1200. Решим его:
я 2+ 10х = 1200,
*2+ 10*— 1200 = 0,
х = — 5 ± у25 1200 = — 5 + 35,
=3 0, х2= — 40.
По смыслу задачи значение х (длина стороны) должно быть
положительным числом. Этому условию удовлетворяет только
первый корень. Значит, длина одной стороны прямоугольного
участка равна 30 м, другой — 40 м (30+ 10= 40), а периметр равен
2-30 + 2-40=140 (м).
Проверку можно выполнить, соотнеся найденный результат с
условием задачи. Д ля этого введем в текст задачи найденный ре
зультат : «Огородный участок, имеющий форму прямоугольника,
одна сторона которого равна 30 м, а другая на 10 м больше, тре
буется обнести изгородью. Длина изгороди 140 м, а площадь
равна 1200 м2».
Проверим, не возникает ли из сказанного в тексте какое-
либо противоречие. Так как длина одной стороны прямоугольника
30 м, а его периметр равен 140 м, то длина другой его стороны
составляет (140 — 2 -30):2 = 40 (м ), т. е. на 10 м больше первой.
Кроме того, зная длины сторон, можно найти площадь прямо
угольника: 30-40=1200 м2. К ак видим, полученный текст не
со
содержит
противоречий. Зн ачи т, найденный
результат удовлет
воряет условию задачи.
Проверку можно выполнить иначе,- решив задачу другим
способом.
Упражнения
1. Решите задачу различными алгебраическими способами:
1) От деревни до совхоза 20 км, а от совхоза до станции 40 км.
Из совхоза по направлению к станции выехал велосипедист со
скоростью 12 км/ч. Одновременно из деревни на станцию* через
совхоз по той же дороге отправился мотоциклист. С какой ско
ростью должен ехать мотоциклист, чтобы догнать велосипедиста
до его приезда на станцию?
2) Периметр прямоугольника равен 60 см. Если длину увели
чить на 10 см, а ширину уменьшить на 6 см, то площадь прямо
угольника уменьшится на 32 см2. Найдите площадь прямоуголь
ника.
2. Решите задачу алгебраическим способом и проверьте ее,
решив арифметическим способом:
1) Колхоз отвел под гречиху и овес 700 га, причем площадь,
отведенная под овес, была на 60 га больше площади, отведенной
под гречиху. Сколько гектаров было отведено под овсс и сколько
под гречиху?
2) В двух кусках одинаковое количество ткани. После того
как от одного отрезали 18 м, а от другого отрезали 25 м, в первом
куске осталось вдвое больше ткани, чем во втором. Сколько метров
ткани в каждом куске?
3) Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вслед
за ним из пункта В, отстоящего от А на расстоянии 20 км, вы
ехал мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а
мотоциклист со скоростью 16 км/ч. На каком расстоянии от пунк
та А мотоциклист догонит велосипедиста?