2. О бъем и содерж ание понятия

Всяк ий математический объект о бладает опре деле нным и свой

ствам и. Н апример , квадрат имеет чет ыре ст ороны, чет ыре пря мых

угла, равн ые д иагонали.

Можно у каза ть и дру гие свойств а квад р ата.

Среди с войств о бъекта р азлич а ют свойства с ущес твенные и

нес ущес твенные д ля его выделения из других об ъек тов. Свойство

с читают существенны м д ля о бъекта, если оно пр ис уще этому

о б ъекту и без него он не м о жет с ущ ествоват ь . Н е с у щественны е

с войства — это так ие свойства , отсутствие которых не влияет на

сущес тво вание об ъек та. Так, на зва нны е выш е с войства ква д рата

являютс я сущес твенны ми, а свойство «с торона AD к вадрата

AB CD горизонтальна» нес ущест ве нное (если к вадрат Л BCD по

вернуть (рис. 1), то сторо на A D окажется р аспо ложенной по-

6

д р угом у). П оэто му, чтобы по

ним ать, ч то п р едставл яе т со- Л ________ Г

бой д а нн ый о бъек т д оста

точно знат ь его сущ ественны е

свойства. В этом слу чае говорят,

что имеется пон ятие об этом

объекте.

Со вокупн ост ь всех взаи м о

с вязанн ых с ущ е ственных

А

П

свойств объекта на зыва ют содержан ием понятия об этом об ъекте .

Когда говорят о математ ич еском объекте , то обычно имеют

, в виду всю совокупность объектов, обозна чаемых одним тер ми

ном (словом, названием). Так , когда говорят о квадрате, то имеют

в виду все геоме трич ески е ф игуры , яв ляющ иеся к вадратами.

Сово ку пность всех ква дратов с остав ляет об ъем пон ят ия кв адр ата.

Вообще объем понятия — это с овокупность всех объекто в,

обозн ачаемых одним и тем же термином.

Та ким образом, всяк ое понятие х ара кт еризу ется терм ином,

объе мом и содер жани е м.

Межд у о бъе мом пон ятия и его содерж анием с уществ ует связь:

чем «больше» объем поня тия, тем «меньше» его содержан ие , и

на оборот. Та к, на прим ер, объем поня тия «прямоуголь ный тре

угольник» «мень ше» объема понятия «треу гол ьник», посколь ку в

об ъем первого пон ят ия входят не все треугольники, а только пр я

моугольные. Но с одержание первого по нятия «больше» с о д ержа

ния второго: прямо угольны й треугольник о бла дает не только всеми

свойствами треу гольника , но и д ругими, пр исущими то льк о прямо

угольным треугольника м.

Н а чал ьный курс м ате матики на сыщен р азличным и математи

ческими пон ят иями . Та к, у же в I кл ассе уч ащиеся зн а комятся

с поня тиями «цифра» , «число», «сла га ем ое» , «сум ма», «отр езок» ,

«длина отре зк а» и многими другими. Во II классе к ним д о б а вля

ются понят ия, с вяз анные с умножением и д елением, в III —

пон ятия дроби, пло щад и фигуры и другие.

Упражнения

1. Начертите т ри об ъекта, пр ина длежащ ие о бъе му поня тия:

1) ге омет ричес кая фигура; 2) прямоу го льни к; 3) к вадрат;

4) ромб.

2. Н азовите пя ть с ущес твенных свойств пон ятия : 1) треуголь

ник; 2) прям оугольник; 3) т рапеци я.

3. Ка кие из прив еденных ниж е свойст в трапеции являют ся

сущес твенными, а какие несу щественн ыми: 1) д ве сто роны т р а

пеции па раллельны; 2) ос нова ния тр апеци и гор изон тал ьные;

3) оба угла при б ольшем осно вани и острые; 4) оба угла при мень

шем о снова нии тупые; 5) с умма вн утренних угло в т рапеции

равна 360°?

7

4. Верно ли, что объем пон ятия «прямоугольник» «б ольше» ,

чем объем пон ятия «кв адрат »? Ка кая вза имосвязь су ществует

между содержан ием этих понятий ?

5. Ка ков об ъем поня тия: 1) цифра; 2) од но знач ное число?

6. Н а зо вите несколько свойств, общи г д ля пр ямо уголь ника

и кв адрата, и выясните, какое ут ве рждение верное: 1) всякое

свой ство пр ямо уголь ника прис уще квадрату ; 2) вс яко е свойство

квад рат а присуще прямоугол ьнику .

7. Сред и след ующих свойс тв выделите те, которыми обла дает

к вадрат: 1) д иагонали делят д руг др уга в точке пересечения

поп олам; 2) д иагон али делят углы пополам.

8. Какими с войс твами из назва нны х в у пр ажнении 7 о бла дает:

1) прямоу го льни к; 2) п араллелограмм; 3) ромб?