19. Этапы решения задач арифметическими способами.

Приемы анализа содержания задачи

Решение текстовой задачи арифметическим способом — это

слож ная деятельность, содержание которой зависит как от конк

ретной задачи, так и от умений решающего. Тем не менее в ней

можно выделить несколько этапов:

1. Восприятие и анализ содержания задачи.

2. Поиск ич-€оставление плана решения задачи.

3. Выполнение плана решения. Формулировка вывода о вы

полнении требования задачи (ответа на вопрос задачи).

4. Проверка решения и устранение ошибок, если они есть.

Формулировка окончательного вывода о выполнении требова

ния задачи или ответа на вопрос задачи.

Следует подчеркнуть, что в реальном процессе решения задачи

отмеченные этапы не имеют четких границ и не всегда выпол

няются одинаково полно. Так, иногда уже при восприятии задачи

решающий может обнаружить, что данная за дача — известного

ему вида и он знает, как ее решать. В этом случае поиск реше

ния не вычленяется в отдельный этап и обоснование- каждого

шага при выполнении первых трех этапов делает необязатель

ной проверку после выполнения решения. Однако полное, логи

чески завершенное решение обязательно содержит все этапы.

А знание возможных приемов выполнения каждого из этапов

делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправ

ленным, а значит, и более успешным.

Основная цель первого этапа решения — понимание ре

шающим в целом ситуации, описанной в задаче, понимание

услов ия задачи, ее требования или вопроса, смысла всех терминов

и знаков, имеющихся в тексте.

Известно несколько приемов, применение которых способст

вует пониманию содержания задачи.

Прочитайте, например, такую задачу.

По дороге в одном и том же направлении идут два мальч и

ка. Вн ача ле расстояние между ними было 2 км, но так как ско

рость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго

5 км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до то

го, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает со

бака со средней скоростью 8 км/ч. О т идущего позади мальчика

она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно

49

и так бегает до тех пор, пока мальчики не о кажутс я рядом. К а

кое расстояние пробежит за все это время собака?

Р азобраться в содержании этой задачи, вычленить условие

и требование ее можно, если задать специальные вопросы по тек

сту и ответить на них.

-з

1. О чем эта задача? ( Задача о движении двух мальчиков и

собаки. Это движение характеризуется для каждого его участника

скоростью, временем и пройденным расстоянием.)

2. Что требуется найти в за даче? ( В задаче требуется найти

расстояние, которое пробежит собака за все это вр емя.)

3. Что обозначают слова «за все это время»? ( В задаче го

ворится, что собака бегает между мальчиками «с начала движе

ния до того, как второй мальчик догонит первого». Поэтому слова

«за все это время» означают «за все то время с начала движе

ния, в течение которого второй мальчик догонит первого».)

4. Что в задаче известно о движении каждого из участн и

ков его? ( В задаче известно, что: 1) мальчики идут в одном н а

правлении; 2) до начала движения расстояние между мальчи

ками было 2 км; 3) скорость первого мальчика, идущего впереди,

4 км/ч; 4) скорость второго мальчика, идущего позади, 5 км/ч;

5) скорость бега собаки 8 км/ч; 6) время движен ия всех участ

ников одинаково: это время от начала движения, когда расстоя

ние между мальчиками было 2 км, до момента встречи мальчи

ков, т. е. до момента, когда расстояние между ними стало 0 км.)

5. Ч то в задаче неизвестно? ( В задаче неизвестно, в течение

какого времени второй мальчик догонит первого, т. е. неизвестно

время движения всех его участников. Неизвестно такж е, с какой

скоростью происходит сближение мальчиков. И неизвестно рас

стояние, которое пробежала собака,— это требуется узн ать в

задаче.)

6. Ч то явл яется искомым: число, значение величины, вид

некоторого отношения? (Искомым является значение величины —

расстояния, которое пробежала собака за общее для всех участни

ков время движ ения.)

Большую помощь в осмыслении содержания задачи и созда

нии основы для поиска решения задачи оказывает переформу

лировка текста задачи — замена данного в нем описания ситуа

ции другим, сохраняющим все отношения, связи и количествен

ные характеристики, но более явно их выражающим. Особенно

эффективно использование этого средства в сочетании с разбие

нием текста на смысловые части.

Направле ния переформулировки могут быть следующие:

отбрасывание несущественной, излишней информации; замена

описания некоторых понятий соответствующими терминами и,

наоборот, замена некоторых терминов описанием смысла соот

ветствую щих понятий; переорганизация текста задачи в форму,

удобную для поиска решения. Результатом переформулировки

должно быть выделение основных ситуаций. Так, заметив, что

50

речь в приведенной выше задаче идет о движении, ее можно

переформулировать следующим образом:

«Скорость первого мальчика 4 км/ч, а скорость догоняюще

го его второго мальчика 5 км/ч (пе рва я часть задачи). Р а с

стояние, на которое мальчики сблизились, 2 км (втор ая ча сть).

Вр емя ходьбы мальчиков — это время, в течение которого второй

мальчик догонит первого, т. е. в течение которого второй маль

чик пройдет на 2 км больше, чем первый (третья часть). Скорость

бега собаки 8 км/ч. Вр емя бега собаки равно времени ходьбы

мальчиков до встречи. Требуется определить расстояние, которое

пробежала собака».

(

Рассмотрим еще та кую за дачу: «На двух полках книг было

на 5 больше, чем на одной из них. С колько книг было на другой

полке?»

После первого прочтения текста ка жется, что в задаче не

достает информации о книгах на другой полке. Но попробуем

переформулировать задачу, раскрыв смысл отношения «на 5 книг

больше». Получим следующий текст: «На двух полках книг

столько же, сколько на первой полке, и еще 5 книг. Сколько книг

на другой полке?» Переформулируем текст еще раз, заменив в

нем слова «на двух полках» словами «на первой и второй полках

вместе»: «Н а первой и второй полках вместе книг столько,

сколько на первой полке, и еще 5. Сколько книг на второй пол

ке?» Возможно и дальнейшее уточнение: «Количе ство книг на

первой и второй полках вместе — это количество книг на первой

полке и еще 5 книг. Сколько книг на второй полке?»

Из этого текста уже ясно, что 5 книг — это и есть книги

на другой полке. Таким образом, в данном случае переформули

ровка привела не только к пониманию содержания задачи, но и

(после выполнения несложных логических рассуждений) позво

лила ответить на вопрос задачи.

Переформулированный текст часто бывает полезно записать

схематически. Например, содержание первой задачи после форму

лировки можно записать в виде такой таблицы:

Скорость

!-й м. 4 км/ч

А

Время

?

Расстояаие

2-й м. 5 км/ч

Соб. 8 км/ч

?| Одинаковое

? На 2 км больше

?

Схематическая запись переформулированного текста может

иметь и иной вид. Рассмотрим задачу: «Турист проехал 6 ч на

поезде со скоростью 56 км/ч. После этого ему осталось ехать

в 4 раза больше того, что он проехал. Сколько всего километров он

должен был проехать?»

После переформулировки текст может иметь следующий вид:

51

«Турист ехал б ч по 56 км/ч, осталось проехать в 4 раза боль

ше. Требуется узнать весь путь».

Схематическую запись этой задачи можно выполнить так:

Проехал — 6 ч по 56 км/ч

1

Осталось проехать — ?, в 4 раза Дольше /

В приведенных записях отражены все ситуации, описанные

в задаче, данные, известные, искомое и отношения между ними.

Важным средством анализа задачи является чертеж. Напри

мер, к последней задаче может быть выполнен такой чертеж

(рис. 15):

46к м / ч _______________________? д 4раза больше

— г

V

V

Рис. 15

Он наглядно отражает все связи и зависимости между величи

нами, что значительно облегчает поиск решения задачи.

Упражнения

1. Проанализируйте содержание нижеприведенных задач, з а

дав специальные вопросы по тексту и ответив на них. Выпол

ните их схематическую запись. Решите задачи:

1) На путь по течению реки теплоход затратил 18 ч. Сколь

ко времени ему потребуется на обратный путь, если собственная

скорость теплохода равна 26 км/ч, а скорость течения реки

2 км/ч?

2) Мальчики полили 8 яблонь и 4 сливы и принесли 140 ве

дер воды. Сколько ведер воды вылили под яблони и сколько под

сливы, если на поливку одной яблони уходит воды в 3 раза боль

ше, чем на поливку одной сливы?

3) Утром на току было 96,5 т пшеницы, к полудню на ток

доставили пшеницу на трех машинах, по 4,5 т на каждой. Сколько

3

тонн пшеницы осталось на току, когда — всей пшеницы отпра-

О

вили на мельницу?

2. Разбейте текст задачи на смысловые части и переформу

лируйте его, выделив основные ситуации. Реш ите задачи:

1)

Пионеры одной школы собрали 80 т металлолома, дру

гой g- этого количества. Из всего собранного лома изготови

ли рельсы. Сколько получилось метров рельсов, если из каждых

10 т металлолома выходит 70 м рельсов?

52

2) В ящике 100 кг пшена. После того как из ящика насыпали

2 мешка, в нем осталось 10% всего пшена. Сколько пшена на

сыпали в каждый мешок, если в один из них насыпали в 2 раза

меньше, чем в другой?

3.

Выясн ите, какой способ записи переформулированного тек

ста (краткая запись, таблица, схематический чертеж ) наиболее

эффективен для определения плана решения задачи:

С аэродрома вылетел вертолет со скоростью 210 км/ч. Через

2 ч с этого же аэродрома вылетел самолет, который через 3 ч

после своего вылета перегнал вертолет на 840 км. Найдите ско

рость самолета.