18. Способы решения текстовых задач

Реш ить задачу — это значи т через логически верную последо

вательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или

косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требова

ние задачи (ответить на ее вопрос).

'

В качестве основных в математике различают арифметические

и алгебраические способы решения задач. При арифметическом

способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполне

ния арифметических действий над числами.

Раз личные арифметические способы решения одной и той же

задачи отличаются отношениями между данными, данными и

неизвестными, данными и искомым, положенными в основу вы

бора арифметических действий, или последовательностью исполь

зования этих отношений при выборе действий.

П окажем различные арифметические способы решения кон

кретной задачи.

З а д а ч а . За 8 ч рабочий изготавливает 96 одинаковых де

талей. Сколько деталей изготовит он за 5 ч работы?

I способ

1) 96:8 = 12 (дет.)

I I способ

1) 8 :5 = 1,6 (раза)

I I I способ

8 ч = 480 мин

2) 12-5 = 60 (дет.)

2) 96:1,6 = 60 (дет.) 1) 480:96 = 5 (мин)

5 ч = 300 мин

2) 300:5 = 60 (дет.)

При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи нахо

дится в результате составления и решения уравнения.

В зависимости от выбора неизвестного (неизвестны х) для

обозначения буквой (буквам и), от хода рассуждений можно сос

та ви ть различные уравнения по одной и той же задаче. В этом

сл учае можно говорить о различных алгебраических решениях

этой задачи.

По кажем различные алгебраические решения конкретной

задачи.

З а д а ч а . Кофейник и две чашки вмещаю т 740 г воды. В

кофейник входит на 380 г воды больше, чем в чашку. Сколько

граммов воды вмещает кофейник?

/ способ

Пусть х г воды вмещает кофейник, тогда (х — 380) г воды вме

щает одна чашка, (х —380) -2 г воды вмещают две чашки, (лг+

-+-(х — 380) 2) г воды вмещают кофейник и две ча шки. Гак как

740 г воды вмещают кофейник и две чашки, то можно сос

тавить уравнение: х-|-(* — 380)* 2= 740. Реш ив его, получаем, что

х = 500, т. е. кофейник вмещает 500 г воды.

I I способ

Пусть х г воды вмещается в чашку, тогда (.r-f 380) г воды вме

щается в кофейник, 2х г воды вмещается в две чашки, ((х + 380) +

46

-\-2х) г воды вмещ ается в кофей

ник и две ча шки. Так к ак 740 г

воды вмещ ается в кофейник и две

чаш ки, то можно составить урав

нение: (х + 380)4-2.т = 740. Р еш и в

его, получаем, что х = 120. Чтобы

узнать, сколько воды вмещает

коф ейник, подставим найденное

зн ачен ие х в выражение х + 380.

Тогда 120-f380 = 500. Значит, ко

фейник вмещает 500 г воды.

/// способ

Пусть х г воды вмещает кофей

Рис. 12

ник, а у г воды вм ещает одна ч ашка, тогда 2у г воды вмещают-две

ча шки, (х-\-2у) г воды вмещают кофейник и две ча шки, (* —380) г

воды вмещает одна чаш ка. Так как * — 380 есть у, а кофейник и две

чаш ки вме щают 740 г воды, то приходим к системе уравнений:

( х — 380 = у,

\ * + 2у = 740.

Решив эту систему, получаем х = 500, у =120. Так как в задаче

требуется узнать, сколько граммов воды вмещает кофейник, то из

полученных данных выбирУем требуемое.

Кроме арифметических и алгебраических способов решения

текстовых задач, в математике используются и другие способы.

Рассмотрим задачу:

Из двух пунктов навстречу друг другу выш ли два пешехода.

5

3

Первый прошел — пути, второй — . Пр оизо шла ли встреча пеше-

о 10

ходов?

Изобразим произвольным отрезком расстояние между пун кта

ми (рис. 12). О пираясь на теорему Фале са , разделим отрезок на

8 и на 10 равных частей.

Опираясь только на чертеж, легко дать ответ на вопрос з а

дачи: «В стреча не произошла». Такой способ решения можно

назвать графическим.

Иногда решение задачи графическим способом связано не

только с построением отрезков, но и с измерением их длин.

З а д а ч а . Пионерское звено в один день посадило у школы

3 тополя и 5 берез, а во второй день — тополей столько же, а

берез на 2 меньше. Сколько деревьев посадило звено за два дня?

Условимся изображать каждое дерево отрезком в 1 см. Тогда

все деревья, посаженные за два дня, можно изобразить в виде

отрезка А В (рис. 13).

1д

-Зт.— _

___ З т — ^

Рис. 13

g

л___ Л--- 1

47

Измерив отрезок, и зобра жа ющий

все деревья, получи м ответ на воп

рос задачи: «З а

Рис. 14

выполняя действия с предметами.

Рассмотрим з ада чу: « В совхозе 40

автомаш ин — легковых и грузовых, причем на кажд ую легковую

ма шину приходится 4 грузовые. Сколько легковых и сколь ко гру

зовых машин в совхозе?»

Изобразим каждую машину палочкой (40 машин — 40 палочек).

Известно, что на каждую легковую машину приходятся 4 грузовые.

Поэтому отложим одну палочку — это легковая машина. Под ней

положим 4 палочки — это 4 грузовые машины. Будем поступать

так до тех пор, пока все 40 палочек не о кажутся разложенными.

Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно сосчитать, сколько

палочек положено в верхнем ряду и сколько палочек положено в

нижнем ряду (рис. 14).

Такое решение можно наз вать практическим. Это еще один

из способов решения текстовых задач.

Упражнени я

1. Реш ите двумя арифметическими способами следующие

задачи:

1) При печатании книги предполагалось уместить на стра

нице 28 строк, по 40 букв в каждой строке. Однако по размерам

бумаги оказалось целесообразнее поместить на каждой странице

35 строк. Сколько букв следует помещать в каждой строке, что

бы общее число страниц в книге осталось без изменений?

2) Мотоциклист, двигаясь со скоростью 40 км/ч, проехал

некоторое расстояние за 12 мин. За сколько минут проедет это

расстояние велосипедист, двигаясь со скоростью 15 км/ч ?

2. Решите задачу различными алгебраическими способами:

Из 560 листов бумаги сделали 60 тетрадей двух сортов, за

тратив па тетради одного сорта по 8 листов, а на тетради дру

гого сорта по 12 листов. Сколько сделали тетрадей того и другого

сорта отдельно?

Можно ли решить эту за да чу арифметическим способом?

3. Следующие задачи решите, выполнив сн ачала чертеж:

1) Один кусок проволоки на 54 м длиннее другого. После то

го как от каждого из кусков отрезали по 12 м, второй кусок ока

зался в 4 раза короче первого. Найдите первоначальную длину

каждого куска проволоки.

2) На полке стоят тарелки. С начала взяли — часть всех

тарелок, а потом -^-оставшихся тарелок. После этого на полке ос

талось 9 тарелок. Сколько тарелок было на полке?

48

4. Решите графическим способом:

„

Два мальчика собрали 9G грибов. -г- числа грибов, собран-

 О

ных первым мальчиком, равны числа грибов, собранных вто

рым мальчиком. Сколько грибов собрал каждый мальчик?