16. С пособы доказательства истинности высказываний

О сно вны м способом мате мат ич еских д оказательств яв ляе тся

дедуктивный вывод. При этом м ате мат ич еское д оказательство

представляет собой та кую цепочку д едукпуз ных рас суждений, что

за ключе ни е к аждого из них, кроме по следнего, являе тся посыл

кой в одном из последующих рас суждений.

Доказа тельство истинности утв ерждения 7 < 8 с осто яло из

одного рассуждения, содер жащего один шаг.

Рас смотрим прим еры доказательств, сос тоящих из двух и

бо лее ша го в рассу ждени й.

\

П р и м е р 1. Докаж ем, что к а ждая диагон аль р азбива е т

параллелограмм на два равных тр еуголь ника.

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. В любом параллелограм ме про тиво

поло жные стороны р авны; A B C D — па ралл елограм м (рис. 9),

с лед ователь но, A B = CD , B C = AD. Рассуж дение прове дено со

гл асно правилу за ключе ни я, знач ит , полученный вы вод истинен.

2.

Если три стороны од ного т реугол ьника р авны с оответст

венно тре м стор она м др угого т реуго льни ка, то т акие т реуголь

ни ки равны : AB = CD, ВС — A D , с торо на А С о бщая, с л е д ов а тель

но, тр еуголь ники AB C и A CD равны.

И в этом сл учае рассуж дение велось по пр авилу заключ ения,

зн ачи т, выв од истинен. Т еорема д о казана.

З аметим, что доказа т ельс тв о тео ремы состояло из двух ш а

гов расс ужде ний, пр ове денных в полной логической ф орме с у к а

зани ем всех посылок. Однако так ие д оказател ьства громо здки, и

по этому обычно их ведут в свернут ой, сокр ащенной фо рме, опус

ка я отдельные посылк и в схем ах р асс уждений .

Например, проведенное нами доказат ельс т во в свернутой ф о р

ме мож ет быть так им: в треуголь ни ках A B C и ACD стороны

А В и CD, A D и ВС равны ка к противоположные сто роны п аралле

логр амма AB CD, сторо на А С у них общая, следоват ель но, тре

угольники AB C и AC D равные.

П р и м е р 2. Д окажем, что д иа гона ли ромба взаим но перп ен

д икул яр ны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Прове дем его с начала в сверн утой

форме. Р асс мотрим треугольн ики АОВ и A O D (рис. 10). В них

40

Рис. 9

Рис. 10

A B = A D — стороны ром ба; BO = OD, так ка к в точке пересечен ия

диаго на ли ромба делятся попо лам; А О — о б щ ая сторона. Следо

ва тельно, а А О В = a A OD.

Из р авенства этих треу го льни ков имеем, что Z. A OB = /L AOD,

но эти углы см ежные . П оэтому углы АОВ и A O D прямые, и, сле

дова тел ьно, диагонали р омба взаимно перпендикулярн ы.

Выполним логический анализ доказа тельств а, т. е. выделим

цепочку расс уждений и установ им исполь зуемое в каждом зв ене

прави ло выв ода.

1. В ромбе все стороны ра вны; A B CD — ромб, сле доват ель но,

A B = AD (п равило за кл ючения).

2. В ро мбе д и а го нал и д елятся в т о чке пе ресечения по по

л ам; A B CD — ромб, сле доват ель но , BO = O D (пр авило за клю

ч ения).

3. Если три с тороны одного треугольника равны соо тветс твен

но сторонам другого т реугольника, то такие треугольники р а в

ны ; A B = AD , BO = O D, сто рон а А О о б щ а я, с л едовате льно , т р е

угольни ки АОВ и A O D равн ы (пр авило за клю чения).

4. Если треугольники равны, то их соответств енные углы

равны; д Л О / 3 = д Л С Ш , следовательно, / .В О А = / .A O D (п рави ло

за ключения) .

5. Если с межные углы равны, то они прямые; углы А О В и

AOD с меж ные и равные, следовательно, они прямы е (пр авило

за ключен ия).

6. Если пр ямые при пересечении о бра зуют прямые углы, то

они пе рпе нд икулярн ы; углы А О В и AO D прямы е, следователь но,

диаго нали АС и BD вз аимно перпендикулярны (правило за к лю

ч ения).

Таким образо м, док азательство данно го пре дло жени я пред

с тавляет собой цепочку дедуктивных расс уждений, проводимых

в каждом слу чае по правилу закл ючени я, ко торое об еспе чива ет

истинн ость вы вод ов. Заклю чени е к аж дого из рассу ждени й, кроме

последнег о, явл яе т ся посылкой в одном из последующих р а с с у ж

дений.

П о способу вед ения доказательства по дра зде ляются на пр я

мые и косвенные. Все ра ссмот ренные ранее доказа тел ьства были

пря мыми: в них, осно вываясь на каком -л иб о истинном пред ло

же нии, с тро ил ась цеп очка д едукт ивн ых рас суждений, пр иво

див шая к истинному за ключ ению.

К прям ым д ок азательствам относитс я и пол на я ин дукция, о

которой шла речь в п. 8.

Примеро м косвенного доказательства являе тся д ок азательство

способом от противного.

Рассмот рим пример т акого д оказател ь ства. Докажем, что

если две разли чные пр ямые а и b па рал лельны третьей пр ямо й с,

то они пар аллельны между собой.

41

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим пр отивное, т. е. что прямые

а и b не пар алл ель ны м ежду собой. То гд а они пе ресе кутся в не

которой то чке Р, не принадле жащей пр ямой с. Так ка к по условию

а па раллельна с и b параллельна с, то приходим к тому, что ч е

рез точ ку Р вне прямой с можно провести две различны е пр я

мые, параллельные прямой с. Это высказы ва ние проти вореч ит

ак сиоме па раллельности. Сле доват ельно, наш е пре дположение

неверно. Но тогда истинна д а нная теоре ма.

Вообще суть доказ ател ь с тва теоремы А=>В способом ой пр о

тивного зак лючается в следующем. Допуска ют, _что зак лючени е

тео ремы В ложно, следова тел ьно, его отрицание В истинно. П р и

со единив это предло жени е к совокупности исти нных по сылок,

используем ых в проц ессе д о каза т ельства (сред и которы х на хо

д ит ся и условие А) , вы во дят из них следс твия д о тех пор, пока

не получ ится пр едло жение , противоречащее одной из посылок.

З а кл ючая процесс рассуж дения, го воря т, что получ енное пр о

тиво речие доказывает теорему .

Еще одной фо рмой косвенн ого д ок азательства явл яе т ся д о ка

за тельство, основанное на зак оне контра позиции. Суть его в том,

что вместо те оремы А=>В д оказывают равн осил ьную ей т еорем у

вида В=>А. Если эта теорема ок азывается истинной, то истинна и

исходная те орема .

Д окажем , что если дро бь

же несокр атим а.

несокра тима, то и д ро бь — т о

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допу стим, что -----со к р ати м ая дробь .

Тогда ее чи слитель и зн а м е нат ель делятся на одно и то ж е ч ис ло,

н апример т , т. е. a = m q, b = m p.

о

З нач ит ,

а — Ь т и — тр т ( а — р)

3—— —=

a + b mq + mp m(q-\-p)

, а — Ь

т. е. д ро бь — - с ок ратима.

г a-rb г

Таким о бразом, д о каза на и стинность пр е д лож е ни я: «Есл и

д робь —■ сократима , то бу дет сократим а и дробь

>. Это

предл ожение предста вляет собой те орему, о братную пр отиво полож

ной. Значит, по зак ону конт рапози ции буде т истинна и исх одная

т еоре ма.

Упражне ни я

1. И с т инность вы с каз ыв а ния « Кв а д рат л юб ого четного ч ис

л а д е лится на 4» мож е т быть д о к а зан а с лед ую щи м о бразом:

« К вадрат ч етного ч и с ла 2 п имеет ви д 4л2, гд е п — н а т у р а л ь

ное чис ло.

Та к к а к 4 д е лится на 4, то и пр оизвед е ние 4 л 2 д е лится на 4 ».

П рове дите л ог ический а н а л и з э того д о казательст ва.

2 . Д окаж ите , что д иаг ональ пр ям о уго льн ик а р а зб ивае т его

на д ва равны х т реугольника. Вы полните л ог ический а н а л из пр о

веденного д о казат е льства.

42

3. Извес тно, что в тр еугольнике M P N

угол P M N раве н у глу PNM. Д о каж ит е ,

что Z .P M C = / -P N D (рис. II).

4. Д окаж ите ис тинность следующих

в ысказываний: 1) ес ли а > 6 ,то 1 5 а > 156;

2) е сли а~>Ь, то — 8 а < — 86; 3) ес ли

8 - 3 = 24, т о 3 = 24 : 8.

5. О боснуйт е правильно сть р а с с ужде

ния : «Что бы найти неизвестный м н о ж и

тель, на до пр оизвед ен ие р а зделить на

известный мн ожител ь . В у равнении

Рнс. п

5х = 30 не изв естен м но ж ите ль. Сл едовательн о, х = 3 0 : 5».

6. Д о каж и т е способом от про тивного: 1) е сли две р а зл и чн ы е

п ря мы е пе р есек аю тся, т о их пе ресече ние с о д ерж ит одну и т олько

одну точку; 2) в р а зно стороннем т реугольни ке биссектриса уг ла

не п е р пендикул яр на пр отиво положной с торо не ; 3) в р а зно стор он

нем т р еугольник е н ик а кие д ва уг ла не р а вны; 4) нн один т реуг оль

ник не м ож е т им еть д ва п ря мы х у гл а.

7. О пир аясь на о пр еделение у м но ж е ния це лых нео триц а тель

ны х чисе л, ис пользуемое в начал ь ном ку р се м а т ематик и, д о к а

ж ите, что:

а ) 3 - 5 = 1 5 ;

б) 0 -3 = 0;

в) 1-5 = 5.

8. П о луч ив р авенства 2 + 4 = 6, 4 + 6 = 1 0 , 6 + 8 = 1 4 , 4 + 8 = 1 2 ,

у ч а щи йся сделал вывод : с у мма л юбых д в ух ч етных чисел е сть

ч исло четное. Вер но ли это? Мо жно ли рас суж дения ученик а

с ч ит ать доказательством этого у т вер ждения?