15. Неполная индукция

3

Если в выра жение л2+ л + 41 вм есто л подс тавлять числа 1, 2,

3, 4 и т. д., т о м ожно зам етит ь, что при л = 1 значение

выражения равн о прост ому числу 43, при л = 2 зна чение выражен ия

равн о простому числу 47, при л = 3 значение выр аж ения равно

простому ч ис лу 53 и т. д.

Опираяс ь на по лученные рез ульта ты, м ожно за ключить, что при

любом натуральном п зн аче ние выражения л 2+ л + 41 есть просто е 1

число.

Извест но , что 15 д елит ся на 5, 25 делится на 5, 35 делится

на 5, 95 д елится на 5. У читывая это, за кл ючаем, что любое число,

за пис ь кот орого ок анчива е тся циф рой 5, д елится на 5.

В ра ссм отре нны х р ассуждениях мы на основа нии р яда част

ных с лучаев сделали общий вывод. Так ие р ассу ждения на зываю т

неполной индукцией.

Неполная индукция представляет собой такое рассуж дение , при

котором на основании тог о, что некоторые объекты совокуп

ности о бладают определенным свойством, делается вывод о том,

что этим свойством обладают все объекты этой совокупности.

Выводы, полученные при неполной индукции, могут быть как ис

тинны ми, так и л ожными. Та к, вы вод о то м, что л юбое число,

за пись которого оканчивается цифрой 5, д ел ит ся на 5, истинен.

А утве рждение «П ри любо м натурал ьном и зн аче ние в ыраже

ния л 2+ л + 41 есть простое число» л ожно. Действите льно , если

л = 41, по лучае м 4 1‘ + 41 + 4 1 = 4 12Н- 2 -41 = 4 1 -(41 + 2) = 41 -43,

т. е. зн ачение вы ражения л 2+ л + 41 о казы вается составным

числом.

К вывод ам, полученным при пом ощи неполной индукц ии, н а

д о о тноситься критически. Эти выводы нося т характер предполо

ж ения, гипотезы, которую след ует либо д о каза ть (дедуктивным

с посо бом), либо опровергн уть. Таким образом, в процесс е по

зн а ния дед уктивные и ин дуктив ные рас с уждения о казы ва ются в за

имосвязанными.

Н есмотря на то что ин дуктивн ые рассуждения не вс егда при

вод ят к правильным вы во дам , р оль их в изучении мат емат ик и и

д ругих пре дметов велика. В ходе индукти вных рассуждений ф о р

мир уется умение видеть общее в конкретных, частны х случаях ,

высказы вать д огадки.

В нач ально й шко ле неп олный индукти вный вывод применяется

часто. Как пра вило, все об щие закономерности здесь вы водятс я

индукти вным путем. Та к обос но вываются переме стител ьные законы

с ложения и умножени я, р авенства 0 + а = а, 1-а = а, а : 1 = а , (Ь а = 0

и дру гие закономе рно сти.

38

Кроме неп олного индукти вног о вывод а, в на чал ьных к лас

са х ши роко использует ся вывод по а на логии1, при котором осу

щ ествляетс я перенос зн аний с изуче нного о бъекта на д ругой,

менее изученны й объект. Осно вой д ля переноса с луж ат р азно

сторонние зна ния пр изн аков с ходства и раз личия этих объектов.

Анал огия ва жна тем, что на водит нас на дога дки, пре дпо

ложения. Кро ме того, анал огия способствует разв ит ию математи

ческой интуиции, она явл яется ва жным источник ом ассоциаций,

способствую щих глуб окому усвоению предме та.

О днако нел ьзя за б ыват ь о том, что по лучаемые по а на логии

выводы могут ока за т ься как истинными, т ак и ло жными. Выв о

ды, по лученные по аналогии, д олжны д о казы ваться дед уктивны м

способом.

Упражнения

1. Каким числом м ожет б ыть с умма дву х четных чисел? Р а с

смотрите нес колько ча стных случаев и выс каж ит е пре дположение.

Каким образо м мо жно д оказать его истинн ость?

2. Расс мотр ит е р авенс тва: 12= 1, 32= 9, 5 2= 25, 72= 49. Выс

кажи те ка кое-либо заключение относ ит ельно квад рато в нечетных

чисел и у кажи т е возможны й с посо б устан овления его

истинности.

3. Разд елите каж дое из чисел З2, 5 2, 72 на 4. Чему в кажд ом

из этих сл учаев равен остаток? Ка кое пре дпол ожени е можно в ыска

за ть на основ е получен ных р езультатов? Скол ько нечетных чисел

нужно б ыло бы возве сти в к вадрат и разд елит ь на 4, чтобы

га рантировать истинност ь выс казанного предп оложе ния?

4. Найдите зна чени е выр аж ения п 2— n - f -ll при п = 1, 2 и 3.

Мо жно ли на основании полученных ответо в утвер жда ть, что з на

чение выр аж ения п 2— n - f l l при любом на туральном п есть число

простое?

5. Выясните, каким о бра зом учащ иеся началь ных классов

уб е жда ют ся в истинности с леду ющ их вы ск азыва ний:

1) 0-+-а = а; 2) I -а = а; 3) 0-а = 0; 4) ab = ba.

6. По а налогии с пр изн аками дели мост и на 3 и на 9 у ч а

щийся с ф орм у ли ровал такой п ри знак делимос т и на 27:

«Для того что бы число делилось на 2 7, не обходим о и д о с т аточ

но, чтобы с у м ма циф р в записи этого ч ис ла д е л ил а с ь на 2 7».

Верен л и вы во д, с д е ланный у ч ащ им с я?

7. Вып олняя деление 96 на 16, учащ ийся получил ч аст ное

10 и обос но ва л свои д ействия так : 9 6 :1 6 = 9 0 : 1 0 - 1 - 6 : 6 = 9 1 = 10.

Ка кие тео ретиче ские факты ошибочно ис пользовал учащийся?

1 Под робнее об ан алогии н других в ид ах р ассу ж д ений м ожно, нап рны ер, пр о

чи тат ь в книге : И в и н А. А. И скусство пр ав ильн о мы слить.— М ., 1986.

39