14. Простей шие схемы дедуктивных рассуждений

Счи тают, что в основе каждо го дед уктивно го рассу ждения

лежит о пределенное прави ло вывода. Мы ра ссмотрим тол ько три о с

новных таких пр авила, пр иняв их б ез д оказател ь ства.

34

1.

Правило заключен ия: (А=>В и А (а)) =>В (а), где А=>В —

о бщая посылка, А (а) — ч а стная посылка, В (а) — за кл ючение.

1 2. Правило отрицани я: (А=>В и В(а))=ь-А (а).

3. Правило силлогизма: {А=>В и В=>С) => {А=>С).

Применение этих пра вил га рантирует , что расс уждение будет

''дедукти вным, т. е. позв оляет из истинных по сылок вы вод ит ь ис тин

ное заключе ние.

П о кажем, как использу ют ся д анные пр авила для проверки п ра

вильности рассуждения.

З а д а ч а . Являют ся ли сле дующие рассуж дения дедуктивными:

1) Все числ а, запись кот орых о канчивается нулей, делятся

на 5; число не делится на 5, с ледо ва тельн о, его запис ь не о к ан

чивае тся нулем.

2) Если на турал ь ное число кр атно 8, то оно кратно 4; если

на тураль ное число кр атно 4, то оно кр атно 2; с лед ователь но,

если число кратно 8, то оно крат но 2.

3) Если за пись ч ис ла о канч ивается нулем, то оно д елится на 5;

число не о канч ивается нулем, сл едо ва тельно, оно не дел ит ся на 5.

Р е ш е н и е . 1) Определим схему прив еденно го рас суждения.

Сна чал а сфо рмулируе м общую посылку в виде условного предл ож е

ния: «Если запись числа оканчивается нулем, то оно дел ит ся на 5».

Зате м обозн ачим буквой А пре дложение « Запись числа о канчива

ется ну лем», а буквой В пре дло жени е «Число дел ит ся на 5». Тогда

о б щая_ посылка примет вид А^>В , частна я — это В, а заклю че

н и е — А, т. е. имеем рассуждение по схеме:

(А=>В ч В ) ^ А .

Это правило отриц а ния , га рантирующ ее истинность за ключения.

Сле доват ельно , д анное рас суждение дед уктивное .

2) Если о бозн ачи ть через А пр едл ожение « Натурал ь но е число

кратно 8», через В пр едл ожени е «Натурально е число кратно 4»,

чер ез С пр едложение «Натурально е ч исло кр атно 2», то схема д а н

ного р ассуж дения примет вид:

(А=>В и В=>С) =>(А=>С).

Такая с хема — это пра вило си лл огизм а — га рантирует при истин

ности по сылок истинность за ключени я. З начит , д анное рас с уждение

дедуктивн ое.

3) Обозн ачим буквой А пре дложен ие «За пись ч исла ока нч ива

ется нулем», б уквой В пре дложе ние «Ч ис ло делится на 5». Тох-

д а с хема данного рас с уждения будет иметь вид (А=^В и А)= >В .

Она при во дит к л ожном у выводу: например, число 15 не о канчи

ва ется нулем, но оно делитс я на 5. Во общ е эта схема р ассуж де

ния не га рантирует истинности зак лючения — она может пр ивес ти

ка к к истинному , так и к лож ному заключени ю.

Рас суждение по схеме, при во дящ ей в одном случае к истинно-

2*

35

му закл юч ению, а в другом — к ложному , считают недедуктив

ным. Сл едо ва тел ьно, д анное рассуждение недедуктивное.

Ц елесооб разн о запом нит ь д ве схемы недедукт нвных рас суждений:

1) {А=>В и В) =>/4; 2) {А=>В и А)=>В.

Эти схемы не га рантируют истинности^ зак лючения при истин

ности посылок.

Заметим , что полное дедуктивное рассуждение по приведе н

ным схема м т ребу ет указания двух посылок. О д нако в процессе

расс уждений эти схемы ино гда с окращ ают, о пуская, например, об

щую посылку.

В ма темати ке давно зам етили, что ис пользова ние схем, не

га рантирующ их истинность закл ючени я, а так же нев ыполнение ус-

) ло внй пр именимости теорем и формул , пр именение ошибочног о

ч ертежа при во дят к не ве рном у выводу, ложном у за ключению . И

мате мат ики стали приду мывать умышленно неправи льн ые р ассуж

дени я, но им еющи е ви димост ь правильного. Та кие рассужден ия по-

улучили назван ия соф измов.

Разб о р с офизмов не только формиру ет уме ние правильно

рас с уждать, но и помогает у сваивать многие м ате мат ич еские

факты.

Рассм отрим пример с офизма.

Докаж ем, что 5 = 1.

И з чисел 5 и 1 вычтем одно и то же число 3. Получим

5 — 3 = 2, 1—3 = — 2. Возведем числа 2 и — 2 в квадрат. Ре

зу льтат ом этого яв ят ся р авные числа: 2г = 4, ( — 2)2= 4. З н а

чит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. И так, 5 = 1 .

Ясно, что за ключени е в проведенном рас суждении ло жно . Но

где д опущ ена ошибка?

Проанализируем пр овед енное расс ужде ние. Оно состоит из трех

ша гов, причем вос произ ве денн ых в со краще нном виде. Мы ж е

восст ановим обе посылки к аждого ш ага.

1-й ша г (в ыч ит ание из 5 и 1 целого числа 3).

О б щ а я посылка: « Разн ость любых целых чисел с уществует».

Ч а стная посы лка: «Числ а 5, 1 и 3 целые».

Закл ючение: «Разность 5 — 3, 1 — 3 существует, и 5 — 3 = 2,

1 - 3 = - 2 » .

Та к ка к расс ужде ни е ве лось по прави лу за ключе ния, т о при

истинных пос ылка х мы получили истинное заключение. Поэ тому ош и

бок на этом шаге нет.

2-й шаг (в озве дение чисел 2 и — 2 в к вад р ат).

О б щ а я посы лка: «Квадраты л юбых целых чисел всегда с ущ ест

вуют и являются нео трица тельн ыми числами».

Ч астная пос ылка: «Чис ла 2 и — 2 целые».

Заключе ние : « Квадраты чисел 2 и — 2 с ущес твуют , причем

22= 4, ( — 2)2= 4».

Р ассуждение здесь т а к ж е вело сь по пр авилу заключения, полу

чили истинный вывод. П оэто му о шибок на этом шаге не д опу

щено.

36

3-й шаг (заключение о равенстве чисел 5 и 1).

О бщ ая посылка: «Если числа равны, то равны и их квадраты».

Ч а с тная посылка: «Квадраты чисел рав ны (4 = 4 )» .

Заключение: «Равны и сами числа 5 — 3 = 1 — 3, или 5 = 1 » .

Н а этом э тапе р ассуждение велось по схе ме (А=>В и В) =>А,

а она не гаранти руе т истинности закл юч ения. В р езуль тате и было

по лучено ложно е за ключение.

Упражнения

1. Выя вите сх ему к аждого р ассуждения и укажите среди

них дедуктив ные: 1) против опол ожные углы параллелограмма равны;

че тырехугольник A B CD — па раллелограмм; с лед овате льно, А.А —

= /LC\ 2) прот ивопо ложные углы п арал лелограм ма равн ы; про

тивопол ожные углы четырехугольника A BC D р авны; с лед овате льно,

A BC D — па раллелограмм; 3) противо по ложные углы па р алл ело

грамм а равны; четырехугольник A BC D не является п араллело грам

мом; с лед ователь но, его пр отивоположные углы не равны; 4) пр о

т иво по ложные углы па р аллелограмма рав ны; про тивопол ожные углы

четы рехугол ьника A BC D не равны; сл едо вате льно, четырех уголь

ник A B CD не явл яется па раллело грам мом.

2. Зак ончите рассуждение так, чтобы оно было пра виль ным:

1) если сумма цифр числа д елитс я на 3, то число д елится

на 3; сумм а цифр ч исла 327 делится на 3, с ледо ва тельно, ...;

2) если сумма цифр числа д ел ит ся на 3, то число д елится

на 3; число т не дел ит ся на 3, следователь но , ...; 3) если чис ло

делится на 18, то оно дел ит ся на 6; если ч ис ло делится на б, то

оно д ел ит ся на 3, следов ате льно, ... .

3. Де дуктивны ли след ующие рассуж дения: 1) все отличники III

кл асса спортсмены. Ученик III кл асса Се режа — отличник; сл едо

ва тельно , Сережа спортсмен; 2) все отличник и III кл асса спортсмены.

Тр еть екла ссник Во лодя спортом не заним ается; сле доват ель но, он

не отличник; 3) все отличники III клас са спортсмены. Третьеклас

сница О ля не о тличница ; следовательно, О ля не спортсме нка ; 4) все

отличники III к ласса спортсмены. Тре тьеклассниц а Та ня — спо рт

сменка; с лед ователь но, она отличница?

4. Во сст ановит е общ ую посылку в каждом из с ледующи х рас -

сужде ний : 1) число 12 — натуральное, с лед ователь но, оно пол о

жительное ; 2) тр еуголь ник ЛВ С рав но стор онни й, с лед овате льно, он

равнобедренный; 3) число 188 не д елится на 9, с ледоват е ль

но, сумма его цифр не делится на 9.

5. Найдите о шибку в ка ждом из с леду ющ их софизмо в: 1) Все

чис ла рав ны м еж ду собой. Пусть а ф Ь . Возьмем тождество а 2—

— 2ab-\-b2— b2— 2 а Ь -\ -а 2. Имеем (а — Ь)7— (Ь — а)2. Отс юд а а — Ь =

= Ь — а, или 2а = 2/;, а значит, а = Ь. 2) И з двух нера вных чисел

первое всегда больш е второго. П уст ь т и п — про изво льные чис ла

и т Ф п . Име ем (т — /i)2> 0 , т. е. m 2— 2/л« + н2> О, или т 5-+-л2>

> 2 т п. К обеим частям получивш егося не раве нства пр ибавим — 2п 2.

37

П олучим т 2— п ?> 2 т п — 2 л 2, или (т - f п) (т — л ) > 2л (т — п). П осле

деления обеих ч асте й на т — п имеем т + л > 2л, от куда сле дует,

что т > п.