§ 3. Математичес ки е д о казательс тва

13.

Дедуктивные рассужден ия

Д о к аза ть теорему А=*-В — это зн ачит у ста но вить логич еским пу

тем, что всегда, когда вы полняе тся свойство Л, б удет вы полнять

ся и свойство В.

Д оказательство в м атема тике обладает рядом особенностей. В

ч астности, оно проводитс я по прави лам л огик и без каких-либо

с сылок на нагл яд ность и опыт.

В осно ве доказате льства лежит р ассуж дени е — логичес кая

опер ация, в р езультате кото рой из одного или неско льки х взаимо

с вяза нных по см ысл у предложений получае тся пре дложе ние, с оде р

ж а щ е е новое (по отношени ю к исходным) знание.

В ка честве приме ра ра ссм отрим рассуждение первоклассника,

которому надо уст ановить отношени е «ме ньше » между ч ислами 7 и

8. Уч ащийся говорит : «7 < 8 , потому что 7 при сче те на зывают

раньш е, чем 8».

Выясним , на ка кие ф акты опира етс я вывод, полученный в

этом рас суждении.

Та ких фактов д ва :

1. Если число а при счете называют рань ше числа Ь, то

а < 6 (д ля любы х на тура льных чисел а и Ь ).

2. 7 при счете на зы вают рань ше, чем 8.

П ервое предложен ие носит о бщий харак тер , так как содержит

квантор общности, по дчеркива ющий, что предлож ение имеет место

д ля любых нат уральны х чисел а и Ь\ его называю т общей посы л

кой.

Второе пре дло жени е кас ается конкретных чисел 7 и 8, о тра

ж а е т частный с лучай, его на зы ва ют частной посылкой.

Из д ву х по сылок и выведен новый ф акт (7 < 8 ) , его называ

ют зак люч ением.

Вооб ще в любом р ассуждени и ес ть посылки и есть заключ е

ние. Меж ду посы лками и заключе нием с уществует определенная

связь, б лаго дар я которой они и составляют рас сужде ние.

32

Рассужден ие, меж ду посылками и заключен ием которого имеет

место отнош ение следов ани я, назыв ают дедукти вным1.

Др угими с ловам и, р ассужде ние дед уктивно, если с его по

м ощью из истинных посылок нел ьзя получить лож ное за кл юче

ние. В противном с лу чае рассуждение с читается нед едуктивным.

Каковы ж е те усл овия, при которы х р асс уждение буде т дедук

тивн ым?

О брат имся к примерам .

П р и м е р 1. Д а но рас суждение, в котором:

общ ая посылка: «Если натур аль но е число кратно 4, то оно

кр атно 2»;

частная посылка: «Чи сло 12 крат но 4»;

заключение: « Число 12 кратно 2».

В этом р ассуждени и и посылки, и закл юч ение истинны. М о ж

но пре дположить, что он о дедукти вное.

П р и м е р 2. Д ан о рассуждени е, в котором:

общ ая пос ылка : «Если нату рал ьное число кратно 4, то оно

кратно 2»;

частная пос ыл ка : «Число 126 кратно 2»;

закл юч ение : «Число 126 кратно 4».

В данн ом рассужд ении посылки истинны, а заключ ение ложно —

число 126 на 4 не д елится. Значит , это рас сужд ение не является

дед уктивным, и, с лед оват ель но, истинность по сылок не еди н

ст венн ое условие, обеспеч ива ющее дедукти внос ть рас суж дени я.

Что же еще важно д ля получени я истинног о закл юч ения?

Сравним пр ове денн ые расс уждения. Д л я этого пре дставим их

в символической форме. Если обозначить через А пр едло жение

« Нату ральное число х крат но 4 », а ч ерез В — предложе ние «Нату

ральное число кр атно 2», то о б щая посылка в обоих рассужде

ниях будет иметь вид А=>В. Вторая пос ылка в прим ере 1 ч астная,

она полу чается, если в предложение А вм есто х подс тави ть

12. О бозначим ее /4(12). Тогда закл ючени е в первом рассуж

дении мо жно обозн ачить В (12). Д л я д ругого при мера: вторая

пос ылка имеет вид В (126), а зак лючени е А (126).

В соответствии с введенными обозн ачениями д анные рас сужден ия

можно представи ть в т аком виде:

П р и м е р I

I посылка: Л=>-В

II посы лка: А (12)

Заключени е : В (12)

П р и м е р 2

А=>В

В (126)

А (126)

В первом примере расс уждение провод ило сь по схеме (Л=*-В и

А (12))=>-В (12), а во втором : (А=>В и В (126))=>-Л (126). Как ви

дим , схемы расс уждений различны. Схема, кото рую использовали

в первом сл учае , пр ивел а к истинному заключени ю, а вто рая сх е

ма р ассуж дения — к л ожному.

1 Дедуктивный — от ла т. слова d e d u ctio — выведен ие.

2 Заказ 147

3 3

Ра ссмотренн ые примеры позв оляют утвер ждать , что истинность

посыло к не всегда га рант ир ует истинность заклю чения. Необходимо

еще р а с суждать по таким с хем ам (пр а вил ам), кото рые обеспечи

ва ют т акое заключени е.

■3

Упражнения

!. В ка ждом из с леду ющ их рас суждени й выде лите об щую по

с ылку, частную посылку и за ключени е: 1) если треуголь ни к равно

бед ренный, то углы в нем при о сновании равн ы; треугольник A BC

рав ноб едр енный , следовательно, углы в нем при о сновани и равны;

2) во вся ком равн обедренн ом треугольнике углы при ос но ва нии

равн ы; углы при основании т реу гольника A B C не ра вны , след о

ватель но, треу го льни к AB C не является равн обедр енным; 3) во вся

ком р авнобед ренн ом треугольнике углы при ос но ва нии равн ы; тре

угольник A BC неравн об едрен ный , сл едо вате льн о, углы в нем при

о сновании не равны.

2. П роанализир уйте схему к а ждого р а ссуждения из у пр аж не

ния 1. Есть ли среди них не дед уктивны е рассуж дения?

3. У чащ им ся I класса было пр едложено о боснова ть выбор д ей

ствия при решении за дачи: «Катя на шла 5 грибов, а Са ш а 3 гриба.

На с колько бо льше грибов нашла Ка тя?»

Один уч ащийся сдела л это так : «В этой за д а ч е надо узнат ь,

на скол ько 5 б ольше чем 3. П оэто му из 5 надо выче сть 3».

Дру гой учащ ийс я предл ожил такое обосновани е: «Все за д ачи,

в которы х тр ебуется узиать, на сколь ко од но число больш е д р у

гого, р еш аются вычи танием. В этой за д а ч е надо узнать , на с коль

ко 5 б ольше чем 3. Знач ит, д ля отве та на вопрос за дачи надо из

5 выче сть 3».

П р авильны ли про вед енны е рассуждения? Чем они отлич аются?

4. Какая посылка ис пол ьзует ся неявно в след ующем р ассуждении

младшего школьника: 1) О босновывае тся исти нность р авен ства

13-5 = 65. 13 — это сумма чисел 10 и 3; 10 у множить на 5, получ ит

ся 50, 3 ум ножить на 5, получ ится 15; 50 + 1 5 = 65. Значит,

13 -5 = 65. 2) Обосно вывается выб ор д ействи я при ре шении тек сто

вой за д ачи: «В одной книг е 36 с траниц, а в д ругой 18 стр а

ниц. Во ско лько раз б ольш е страни ц в первой книге, чем во вт о

рой?»

В за д а ч е надо узнат ь, во с колько р аз 36 больше 18. Д л я ответа

на вопрос задачи надо р азделить 36 на 18.

5. Обосн уйте истинн ость след ующих равенств:

1) 1 7 + 1 2 = 29; 2) 18 -5 = 90.