12. Струк тура теоремы . Виды теорем

Ран е е мы отмечали, что существенны е свойст ва об ъекта об

разу ют с одержание пон ятия об этом об ъекте. Ч асть этих свой ств

включается в опред еление поня тия. Чтобь* иметь д ост ато чно пол

ное пре дст авлени е об объекте , изуча ют и другие его свойства.

Свойст ва основных (п ервоначальных) по нятий р аскрываются в

аксиомах' — предлож ениях , при нимаемых без д о казательств а (в не

которой т еории). Н апример, свойст ва основных понятий геометрии

«точка», «прямая», «плоскост ь» включены в аксиом ы:

Како ва бы ни была пр ям а я, с ущес твуют точки , прин адлеж а

щие прямой, и точки, не п ринадлежащ ие прямой .

Ч ере з любые две точки мож но провести пр ям ую и только

одну.

П р ям а я разбивает плоскост ь на две полуплоскости.

Мы назвали лиш ь некоторые аксиомы, р аскрыва ющ ие свойс тва

данных понятий.

Вообще систе ма аксиом люб ой ма тем атиче ской теории, раскры

вая свойст ва основ ных понят ий, дает, по сути д ела, их о пре

д елени я. Эти о пр еделения н азы ваю т ся а к си омат ическими .

Свойст ва понятий, не явл яю щ иеся основны ми и не вклю чен

ные в опре делен ия, ка к пра вило, доказываются, т. е. выв одятся

как с лед ствия из о пр едел ения, аксиом и ранее д оказанных свойств.

Доказывае мые свойства понятий ч аще всего называют теоре

мами, ино гда следствиями или признаками. В алгебре — форм ула

ми, т ождествам и, правилами. Н есм отря на разные названия, устрое

ны эти предло жени я о дина ково. П оэтому буде м называть их все

т еор ема ми.

И так, теорем а — это высказывание о том, что из свойства

А следует свойство В. Истинность этого высказывания устанав

ливается путем док аза тель ства.

Так ка к теорема есть выс казывание вида А=>В, то ее с ло ве с

на я формулиро вка может иметь разли чную форм у (см. п. 10, 11).

О днако , в каком бы виде ни б ыл а с ф ормулиро вана т еорема , в ней

вс егда выделяется услов ие А (что д ано) и заклю чение В (что над о

док а за ть).

Пусть дана j reopeM a А=>В. О б разуе м из нее выск азы вания

вида В=>А, А=>В, В=>А.

Те оремы А=>В и В=>А на зы ва ют ся обратными друг другу, а т е

оремы .4=s-B и А=>В называются противополож ными д руг другу.

Теор ему В=>А на зыва ют обратной противоположной.

П р и м е р . Д а на теорема: «Если углы вертикальные , то они

равны». Сф ормулируе м теоремы обратную, противополо жну ю и

обр атну ю пр отивоп оложной.

О братная данной: «Если углы равны, то они вертикальные».

Это — лож ное высказы вание.

1 Слово «акси ом а» в переводе с гр е ческо го о зн ачает «досто йное признание».

30

П ротиво пол ожная дан но й: «Если углы не яв ляются ве ртикаль

ными, то они не равны ». Это т ож е л ож нде высказывание.

О братная про тиво пол ожной: «Если углы не равны, то они не вер

тика льны е» . Это — истинное высказывание.

Сущ ест ву ет ли к ака я-н ибудь связь между на зва нны ми вид а

ми теорем?

Установлено , что теор емы А=>В и В=>Л равноси льны* т._ е.

всегда, когда истинна т еоре ма А=ь-В, буд ет истинна и теоре ма В=>А, и

наоб орот:

А=>ВоВ= >А

П олученн ую равн оси льнос ть на зыва ют законо м контра позици и.

Пос ле того, как д о каза на к акая-л ибо тео рем а вида А=>В,

имеет смысл ис следовать о брат ну ю ей теорему. В ка ждом с луча е

нужно про вод ить ее самостоятельно е д ок азательст во , т а к как т ео

рема, о б ратная данн ой, может быть л ожной. Так случилось, на

прим ер, в расс мотр енном выше пр имере.

Если ок ажутся верными и д а нная теор ема и ей о братная,

то можно их объединить в одну с пом ощью слов « тогд а и т олько

тогд а, когда » или «нео бходимо и дост аточно» .

Упражне ния

1. Выдел ите усло вие и заключение в каж дой из теорем:

1) если в треу гольнике все стороны равн ы, то и все углы

равн ы; 2) сумма двух четных чисел — четное число; 3) если чис

л о кратно 3 и 4, то оно кратно 12; 4) для того чтобы разность

д елилась на д анно е число, дост аточно, чтобы уменьшаемое и вы чита

емое д елились на это число; 5) для того чтобы раз но сть на

т урал ьных чисел а и b была натуральным числом, не обхо ди

мо и достаточно, чтобы а > Ь .

2. Д а на т еоре ма: «Д л я того чтобы ч етырехугольник был п а

р алл елограммом, нео бходимо, чтобы его противоположные стор о

ны были равны». Выд елите в этой т еореме условие и закл юч ение

и пе реф ормулируйте ее, уп отребив слово: 1) следу ет; 2) всяки й;

3) достаточно.

3. Ка кие из теорем рав носил ьны тео реме «Во всяком прямоуголь

нике д иагонали р авны»: 1) если четырехугольник — прямоугольник,

то диагонали в нем равн ы; 2) если диагона ли в чет ырехугол ь

нике не равн ы, то это т чет ырехугольник не яв ляется прям о

угольником; 3) если диагонали в четырехугольнике рав ны, то этот

ч етырехугольник — пря моугольни к; 4) для того чтобы д иа гонали

в чет ыр ехугольн ике были равны, до статочно, чтобы это т четырех

угольни к был прямоугольн иком ?

4. Являются ли с лед ующие пары теорем о бра тным и друг другу:

I) если ч етырехугольник — квадрат, то в нем ес ть пр ямой угол.

31

Д л я того чтобы четырехугольник был ква дратом, дост аточ но , чтобы

в нем был прямой угол; 2) д ля того чтобы число был о на тураль

ным, необходимо, чтобы оно было положител ьным . Если число на ту

ральное, то оно поло жит ель но е?

5. Сформ улируйте те оремы обр атную,Противо положную данной ,

а т а к ж е о брат ну ю противоположн ой; ус тановите , ка кие из них

ложны: 1) ес ли запис ь ч ис ла ок анчива е тся нулем, то число делится

на 5; 2) в ромбе д иаг онал и вза имно пе рпе ндикулярн ы.

6. Сфо рмулируйте теорему, обрат ную д анной, и установ ите, м о ж

но ли дан ну ю т еорем у и ей обра тную о бъе динит ь в одну : 1) если

углы см ежные , то они в с умме с оставляю т 180°; 2) если д ва угла

т реугол ьника равны, то и стор оны леж а щие против них, т ож е р авны .