11. Необходим ые и достаточные условия

Понятие отношени я сле дования м ежду пр едл ожени ями по зво л я

ет уточ нить смысл сл ов «н еобходимо» и «достаточ но», которые

часто у по треб ляю тся в мате матике.

Если из пре дло жения А с леду ет пре дло жение В, то гово рят ,

что В — необхо димое ус ловие для А, а Л — д остат очное для В.

Другими сл овами, пре дло жени е В н азывает ся необходимым усло

вием д ля Л, если оно логич ески сл едуе т из Л. П редложение

Л называ е тся д остаточ ным условием для В , если В из него сле

дует.

А=>В

В — необходимое усл овие д ля Л

А — необход имое усл овие д ля В

Если предложения А и В равносильны, то говорят, что А —

необходимое и достаточное условие для В, и наоборот.

27

П р и м е р 1. Ран ее мы установили, что из предло жени я А —

«Углы X и Y вертика льны е» следует предложение В — «Углы X и Y

равны». Поэт ому согла сно данн ом у вы ше о предел ению м ожно с ка

за ть, что раве нс тво углов — необходимое условие для то го, чтобы уг

лы были вертикальными, а ве ртнкал ьноств^у гл ов ес ть дос тато чное

услови е для их раве нства . В связи с этим пр едлож ение «Если углы

вер тика льные, то они равны» можно с форм улир овать иначе , исполь

зу я слова «необход имо» и «до статочно»:

1) Для т ого чтобы углы были вер тикальными , необходимо,

чтобы они были равны.

2) Д ля того чтобы углы были ра вны, д остаточ но , чтобы они

были вертикальными.

П р и м е р 2. Пу сть А — пре дло жение « Запис ь числа * о канчи

ва етс я одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8», а В — предложен ие «Число х

делится на 2». Ка к известно, из того, что запись чис ла х ок ан

чивается од ной из цифр 0, 2, 4, 6, 8 следует, что это число д елит

ся на 2. Справедливо и об рат ное утвер ждени е. З начит, д анные

пр едложения Л и В равн осильн ы и кажд ое из них являе тся нео б

ходим ым и достаточным условием д ля другого. П оэтому можно с к а

зать: д ля того чтобы число д елилось на 2, необходимо и доста

точно, чтобы за пись этого числа ок анчивалась одной из цифр

О, 2, 4, 6, 8. Получили известный призна к делимос ти чисел на 2.

П р и м е р 3. Дано пре дложение: « Для того чтобы ч етыре хугол ь

ник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были вза им но

перпенди кулярны». Выясним, не льзя ли сформулировать это пред

ложение по -другому.

П оскольку предло жение «Д иа гонали ромба взаимно пер пе ндику

лярны» вы тек ает из пр едлож ения «Четырехугольн ик — ромб», то

пре длож ение « Дл я того чтобы четыреху гол ьник был ромбом, необ

ходимо, чтобы его диагона ли были взаи мно пе рпе нд икул яр ны» м о ж

но с форм улир овать ещ е т ак:

1) Из того, что четыреху го льни к — ромб, след ует, что его д иа

гонали взаимно пе рпе нд икулярн ы.

2) Во всяком ромбе д иагонали взаимно перпендикулярн ы.

3) Есл и четыреху гольн ик — ромб, то его д иаг онал и вза им но

перпенди ку лярны .

4) Чтобы диаго нали ч етыреху го льни ка были взаимно перпен

д ику ляр ны, до стато чно, чтобы он был ромбом.

В начальном курсе мат ематики сло ва «нео бходимо» и «до ста

точно », ка к правило, не употре бл яются, но за то широко исполь

зую т ся их синонимы — соответственно слова « нужно» и «можно ».

П ривед ем пример. З а д а ч а . В первой коро бке 6 ка ран даш ей,

во второй — на 2 меньше. Сколько карандаш ей в д вух кор обка х?

Один из возможны х путей по иска решения за д ачи может быть

т а ким. Учи тель спрашивает: М о жно ли сразу у знать, сколько всего

кар а ндаш ей (т. е. дос тат очно ли данн ых в задаче, чтобы сразу отве

т ит ь на ее во про с)?

28

У чащ ийс я отвеч ает:

— Н ель зя. Н ужно еще знать, сколько к арандашей во второй

коробке (т. е. необходимо это зн ать).

Учитель далее спрашивае т:

— Мо жно ли узн ать , скол ько кар ан даш е й во втор ой коробке

(т. е. достаточно ли д анных в за д аче, чтоб ы ответить на этот

во прос)?

— Мо жно,— о твеч ает у чащ ийс я.

— Чт о для этого нужно сделат ь? — спрашивае т уч итель и т. д.

П рави льное употр ебление у чащ имся слов «нужно» и « можно» —

за лог успеха в использ овании слов «необходимо» и «д ост аточ

но» при д аль нейшем изучении м атем атики.

Упражнения

1. И звестно, что пре дложение «Если число дели тся на 4, то оно

дел ит ся на 2» истинно. Сфо рмулиру йт е его, используя с лова « не обхо

димо» и «достат очно».

2. Какие из с лед ующих пре дложе ний можно пе реф ор мулир о

ват ь, употр ебив слова «н еобходимо» и «достаточно»: 1) всяк ий р авно

сторонний треу гольни к яв ляе тся р авно бед ренным; 2) всякий прям о

угольный т реуго льни к является рав ноб едрен ным?

3. Переформ улируйт е с ледующие предложения, используя с лова

«если ..., то», «всякий », «следует »: 1) для того чтобы число д е

лил ось на 10, необходимо, чтобы его за пис ь ок анчивалась нулем;

2) для того чтобы 2а было целым числом, дост аточ но,

чтобы а было целым числом.

4. Какие из прив еденных ни же выс казываний истинные: 1) для

того чтобы число д елилось на 2, необходи мо, чтобы оно о канчи

валось нулем; 2) для того чтобы число д елило сь на 3, д о ста

точно, чтобы оно делилось на 6; 3) для того чтобы число д ели

лос ь на 10, нео бходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 5;

4) для того чтобы число делило сь на 15, необходи мо, чтобы оно дели

л ось на 5; 5) д ля того чтобы число делилось на 100, достаточ

но, чтобы оно д елилось на 10?

5. Ка кие из следующих предл ожений можно сформу лироват ь,

у потр ебив с лова «н еобходимо и д остаточно»: 1) вся кое число,

которое делится на 3 и на 5, делит ся на 15; 2) в прямоугол ьни

ке д иа гонал и рав ны; 3) су мма двух четных чисел есть четное

число?

6. Вместо мн огото чия вставь те слова «н еобходимо», либ о «доста

то чно», либо «н еобход имо и достаточно» так, чтобы пр едло жения

были истинными: 1) для того чтобы с умма двух на тура льных

чисел д елила сь на 2, ..., чтобы к аж дое слагаем ое делилос ь

на 2; 2) д ля того чтобы число д елилось на 72, ..., чтобы оно

дели лось на 8 и на 9; 3) для того чтобы число было отрицатель

ным

чтобы оно было ме ньше ну ля; 4) д ля того чтобы угол

был тупым, ..., чтобы он был б ольш е прямого.

29