
- •§ 1. Математические поняти я
- •1. Введение
- •2. О бъем и содерж ание понятия
- •3. Опред еление понятий
- •4. Требования к определ ению понятий
- •§ 2. Математичес ки е предложени я
- •5. Элем ентарные и составные предлож ения
- •6. Высказывания. Смы сл слов «и», «или», «не»
- •7. Высказывательны е форм ы
- •8. Смысл слов «все» и «некоторые»
- •9. Правила построения отрицаний высказываний,
- •2) Квантор общ ности (сущ ествования) заменяется квантором
- •10. Отнош ения следования и равносильности меж ду
- •11. Необходим ые и достаточные условия
- •12. Струк тура теоремы . Виды теорем
- •§ 3. Математичес ки е д о казательс тва
- •14. Простей шие схемы дедуктивных рассуждений
- •15. Неполная индукция
- •16. С пособы доказательства истинности высказываний
- •§ 4. Те ксто вые за д ачи и их реш ени е
- •18. Способы решения текстовых задач
- •19. Этапы решения задач арифметическими способами.
- •20. Приемы поиска плана решения задачи и его выполнение
- •21. Приемы проверки реш ения задачи
- •22. Решение задач алгебраическими способами
- •§ 5. Множества и операции над ни ми
- •23. Понятия множества и элемента множества
- •24. Способы задания множеств
- •25. Отношения меж ду множествами
- •26. Множества и понятия
- •27. Пересечен ие множеств
- •28. Объединение множеств
- •29. Законы пересечения и объединения множеств
- •30. Дополнение подмножества
- •31. Понятие разбиения множества на классы
- •32. Некоторые задачи, связанные с операциями
- •33. Декарто во умно жение множеств
- •34. Изображе ни е декартова произведения двух числовых
- •35. Некоторые задачи, связанные с декартовым умножением
- •§ 6. Отн ош ен ия и соотве тствия
- •36. Понятие отношения
- •37. Способы задания отношений
- •38. Свойства отношений
- •39. Отношение эквивалентности
- •40. Отношение порядка
- •41. Понятие соответствия
- •42. Соответствие, обратное данному
- •43. Взаимно однозначные соответствия
- •44. Равномощные множества
- •§ 7. Понятие числа
- •45. Об истории возникновения понятий
- •46. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет
- •47. Теоретико-множественный смысл количественного
- •§ 8. Понятие действий над целыми
- •48. Сложение
- •49. Законы сложения
- •50. Отношения «равно» и «меньше»
- •51. Вычитание
- •52. Отношения «больше нал и «меньш е на»
- •53. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа
- •54. Умно жение
- •55. Законы умноже ния
- •56. Деление
- •57. Отнош ения «больше в» и «меньше в»
- •58. Правила деления суммы на число и числа
- •59. Дел ение с остатком
- •60. Свойства множества целых неотрицательных чисел
- •§ 9. Смы сл натурального числа и действий
- •61. Сравнение отрезков. Действия над отрезкам и
- •63. Смысл сложения и вычитания чисел,
- •64. Смысл ум ножения н деления чисел,
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел
- •66. О возникновении и развитии способов записи
- •67. О записи чисел в Древней Руси
- •68. Сло жение многозначных чисел
- •69. Вычитание многозначных чисел
- •70. У множени е многозначных чисел
- •72. Запись чисел в позиционных системах счисления,
- •73. Действия над числами в позиционн ых системах счисления,
- •§ 11. Д ел им ость ц елы х нео трицательных чисел
- •74. Понятие отно шени я делим ости
- •75. Свойства отно шения делим ости
- •76. Делимость сумм ы, разно сти и про изведения
- •77. Признаки делимости чисел
- •78. Наибольш ий об щий делитель
- •79. Признаки делимости на составные числа
- •80. Н ахож дение наиб ольш его общего делителя
- •81. Алгоритм Евклида
- •Глава I II
- •§ 12. Полож ительны е рац иональные чи сл а
- •82. Понятие дро би
- •83. Понятие по ложительного раци онал ьно го числа
- •85. Умно жение и деление
- •86. Упорядоченность м ножества положитель ных
- •87. Запись положите льных рациональных чисел
- •8 8. Б е с кон ечны е д е с ятичн ы е п е р и о д и ческ ие д р о б и
- •§ 13. Действительн ые числ а
- •89. Понятие положительно го иррационального числа
- •Глава IV
- •§ 14. Ч исловые р авен ства и нера венства
- •§ 15. Ура вне ния и неравенств а
- •§ 16. Функции
- •Глава V
- •§ 17. П о н я ти е величи ны и ее и з м ер ен и я
- •§ 18. Длина, п л о щ а д ь, м асса, вр емя
- •Глава I. Общие понятия математики
- •§ I. Математические п о н я ти я ......................................................................—
- •§ 2. Математические предло жения................................................................
- •§ 3. Математические доказательства.......................................................... 32
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение................................................................ 43
- •§ 5. Множества и операции над н и м и .......................................................... 61
- •§ 6 Отношения и соот ветствии...............................................
- •Глава II. Целые неотрицательные ч и с л а .......................................................... 123
- •§ 7 Понятие ч и с л а ........................................................................................—
- •§ 8. Понятие действий над целыми неотрицательными числами . . . .
- •§ 9. Смысл натурального числа и действий над числами — результатами из
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действии над
- •Глава III . Расширение понятия ч и с л а ...................................
- •§ 12. Положительные рациональные числа . . .
- •Глава V. Величины и их изм ерения...................................................................... 277
- •§ 17. Понятие величины и ее и змер ения..........................................................278
- •§ 18. Длина, площадь, масса, в р е м я .......................................................... ....287
10. Отнош ения следования и равносильности меж ду
пре дложениями
Люб ое р ассуждени е не о бход ится без слов « следователь но »,
«из д анного предло жени я следует», «отсюда вытекает». Какой смысл
вкладываетс я в эти слова ?
Возьм ем два пред ложени я: пре дложен ие А — «х кратно 4» и
пр едл ожение В — «х крат но 2». Они связа ны межд у собой: люб ое
число, кра тное 4, буде т кр атно 2, или иначе: из того, что чис
ло крат но 4, следует, что оно крат но 2.
Г оворят, что из пр едлож ения А следуе т пре дло жени е В, если
всякий раз, когда истинно пре дложение А, истинно и предложение В.
П редложение « Из А следует В » можно за писат ь, используя
с имвол =>, таким образом: А=>В. Зн а к «=ф-» — это знак отно шения
следова ния меж ду пред ложения ми.
З а пись А=>В читают по-ра зному : а ) из А сл едует В\ б) В сле
д ует из Л; в) если А, то В\ г) ес ть А, с лед ователь но, есть В\
д) всякое А есть В.
Например, пре дло жени е «Из того, что число х кратно 4,
след ует, что оно кратно 2» можно сформулирова ть еще и так:
а ) всякое число, которое дел ится на 4, делится и на 2; б) если число
дел ится на 4, то оно делится и на 2; в) число х д елится
на 4. Сл едо ва тел ьно, оно делится и на 2.
П уст ь д аны предложени я: А — «Треугольник р авноб едренны й»
и В — «Углы при ос новани и треуголь ни ка равн ы» . Выясн им, ка к они
связаны меж ду собой.
В курс е геометри и д ок азано, что если треугольник р авнобедрен
ный, то углы в нем при основании р авны (т. е. м ожно утв ерж дать,
что А=>В), и об ратно: если углы при осно ва нии треу го льника
р авны, то это т т реугол ьник равн обедрен ный (т. е. В=>А).
Если из предложения А следует предлож ение В, а из пред
лож ения В следует п редложен ие А, то говорят, что предложения
А и В равносильны.
Согласно этому опре деле нию пре длож ения «Треугольник равно
б едре нны й» и «Углы при о сно ва нии т реугольни ка равн ы» равно
сильны .
П ред лож ение «Л равн оси льно В » запис ывают, использ уя зн ак
о - . А о В .
З ап ись А о В читают по -р азно му: а ) Л равн осильно В\ б) Л тогда
и т олько тогда, когда В\ в) Л, если и только, если В.
П р и м е р . Даны предл ожения : Л — «Углы X и Y вертикал ьные »,
В — «Углы X и Y ра вны ». Выясним, в каком о тношени и нахо дят ся
данные пре дложе ния.
В геометр ии доказа но, что если углы ве ртикаль ные, то они
рав ны, т. е. Л=»В, а вот с лед ован ия В=>А нет: из того, что углы
равны , не следует, что они вертикальные. З начит, данны е пред
л ож ения не равн осильны , они на ходятся т олько в отношении следо
вания, причем из Л след ует В.
26
У
пражнения
1. Установите, на ход ятс я ли в от ношении сле дования пр едло
жен ия А и В, если: 1) А — «Число х кратно 3», В — «Чис ло х
кратно 9»; 2) А — «В ч етырехугольнике F д иаг онали равны», В —
«Четырехуго льни к F — прямоуголь ник»; 3) Л — «Ч исло х четное»,
В — «Ч ис ло х кратно 5»; 4 ) А — «Треугольник F прямоугольн ый»,
В — «Треугольник F равнобедренны й».
2. П рави льн о ли употреб или слово « след овательно»: I) число а
натура льно е, сл едо вате льно, и 15- а — на тур альное число; 2) чис
ло 1 5 - а — на туральное число, следовательно, и а — на туральное
число?
3. И зве стно, что а > 2. Сл едуе т ли о тсюда, что: 1) й — 2 —
пол ожительное число; 2) а — 4 — поло жит ель ное число; 3) а — 1 —
пол ожительное число?
4. Ра внос ильны ли пре длож ения А к В, ес ли: 1) А — «Ч ис
ло х делится на 3», В — «Сумма цифр числа х делитс я на 3»;
2) Л — «К аждое слага е мое суммы д елится на 4», В — «Сумма д е
л ится на 4»?
5. Вставьте «и» либо «или» т ак, чтобы с леду ющие предло
жен ия были истинными: 1) а- Ь = 0 о а = 0...Ь — 0\ 2) а - Ь ф О о а Ф
... Ь ф О .
6. Среди ниж еприве денн ых выс казываний у кажи те истинн ые и
с формулируйте их в виде «Если..., то...»: 1) вс який угол, меньший
прямо го угла, острый; 2) всякий угол, меньший тупого у гл а,
ост рый; 3) всякий ост рый угол меньше разве рнутого.
7. Установите, истинны или ло жны следующие вы с казывания :
1) х > 2 ^ х ф 2 \ 2) х <2>=>хф2\ 3) х ф 2 = * - х < 2 \ 4) х ф 2 = ^ .с > 2 или
х < 2 .