Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Основы математики.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
12.47 Mб
Скачать

10. Отнош ения следования и равносильности меж ду

пре дложениями

Люб ое р ассуждени е не о бход ится без слов « следователь но »,

«из д анного предло жени я следует», «отсюда вытекает». Какой смысл

вкладываетс я в эти слова ?

Возьм ем два пред ложени я: пре дложен ие А — «х кратно 4» и

пр едл ожение В «х крат но 2». Они связа ны межд у собой: люб ое

число, кра тное 4, буде т кр атно 2, или иначе: из того, что чис

ло крат но 4, следует, что оно крат но 2.

Г оворят, что из пр едлож ения А следуе т пре дло жени е В, если

всякий раз, когда истинно пре дложение А, истинно и предложение В.

П редложение « Из А следует В » можно за писат ь, используя

с имвол =>, таким образом: А=>В. Зн а к «=ф-» — это знак отно шения

следова ния меж ду пред ложения ми.

З а пись А=>В читают по-ра зному : а ) из А сл едует В\ б) В сле

д ует из Л; в) если А, то В\ г) ес ть А, с лед ователь но, есть В\

д) всякое А есть В.

Например, пре дло жени е «Из того, что число х кратно 4,

след ует, что оно кратно 2» можно сформулирова ть еще и так:

а ) всякое число, которое дел ится на 4, делится и на 2; б) если число

дел ится на 4, то оно делится и на 2; в) число х д елится

на 4. Сл едо ва тел ьно, оно делится и на 2.

П уст ь д аны предложени я: А — «Треугольник р авноб едренны й»

и В — «Углы при ос новани и треуголь ни ка равн ы» . Выясн им, ка к они

связаны меж ду собой.

В курс е геометри и д ок азано, что если треугольник р авнобедрен

ный, то углы в нем при основании р авны (т. е. м ожно утв ерж дать,

что А=>В), и об ратно: если углы при осно ва нии треу го льника

р авны, то это т т реугол ьник равн обедрен ный (т. е. В=>А).

Если из предложения А следует предлож ение В, а из пред

лож ения В следует п редложен ие А, то говорят, что предложения

А и В равносильны.

Согласно этому опре деле нию пре длож ения «Треугольник равно

б едре нны й» и «Углы при о сно ва нии т реугольни ка равн ы» равно

сильны .

П ред лож ение «Л равн оси льно В » запис ывают, использ уя зн ак

о - . А о В .

З ап ись А о В читают по -р азно му: а ) Л равн осильно В\ б) Л тогда

и т олько тогда, когда В\ в) Л, если и только, если В.

П р и м е р . Даны предл ожения : Л — «Углы X и Y вертикал ьные »,

В — «Углы X и Y ра вны ». Выясним, в каком о тношени и нахо дят ся

данные пре дложе ния.

В геометр ии доказа но, что если углы ве ртикаль ные, то они

рав ны, т. е. Л=»В, а вот с лед ован ия В=>А нет: из того, что углы

равны , не следует, что они вертикальные. З начит, данны е пред

л ож ения не равн осильны , они на ходятся т олько в отношении следо

вания, причем из Л след ует В.

26

У пражнения

1. Установите, на ход ятс я ли в от ношении сле дования пр едло

жен ия А и В, если: 1) А — «Число х кратно 3», В — «Чис ло х

кратно 9»; 2) А — «В ч етырехугольнике F д иаг онали равны», В

«Четырехуго льни к F — прямоуголь ник»; 3) Л — «Ч исло х четное»,

В — «Ч ис ло х кратно 5»; 4 ) А — «Треугольник F прямоугольн ый»,

В — «Треугольник F равнобедренны й».

2. П рави льн о ли употреб или слово « след овательно»: I) число а

натура льно е, сл едо вате льно, и 15- а — на тур альное число; 2) чис

ло 1 5 - а — на туральное число, следовательно, и а — на туральное

число?

3. И зве стно, что а > 2. Сл едуе т ли о тсюда, что: 1) й — 2 —

пол ожительное число; 2) а — 4 — поло жит ель ное число; 3) а — 1 —

пол ожительное число?

4. Ра внос ильны ли пре длож ения А к В, ес ли: 1) А — «Ч ис

ло х делится на 3», В — «Сумма цифр числа х делитс я на 3»;

2) Л — «К аждое слага е мое суммы д елится на 4», В — «Сумма д е

л ится на 4»?

5. Вставьте «и» либо «или» т ак, чтобы с леду ющие предло

жен ия были истинными: 1) а- Ь = 0 о а = 0...Ь — 0\ 2) а - Ь ф О о а Ф

... Ь ф О .

6. Среди ниж еприве денн ых выс казываний у кажи те истинн ые и

с формулируйте их в виде «Если..., то...»: 1) вс який угол, меньший

прямо го угла, острый; 2) всякий угол, меньший тупого у гл а,

ост рый; 3) всякий ост рый угол меньше разве рнутого.

7. Установите, истинны или ло жны следующие вы с казывания :

1) х > 2 ^ х ф 2 \ 2) х <2>=>хф2\ 3) х ф 2 = * - х < 2 \ 4) х ф 2 = ^ .с > 2 или

х < 2 .