чеОное пособище

для педагогических

П . П . С т о й л о в а

А . М . П ы ш н а л о

ОСНОВЫ

„

НАЧАЛЬНОГО

КУРСА

МАТЕМАТИКИ

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Законы сложения и у множени я

a- \-b = b -\- a для любы х чисел а и Ь

(а-{-Ь)-{-с = а -\ -(Ь-{-с) для любых чисел а, Ь и с

а -Ь = Ь а для лю бых чисел а и Ь

(а -Ь) с = а - (Ь с ) для любых чисел а, Ь и

( a - \ - b ) - c — a c + bc для любы х чисел а, Ь и с

П равил а вычи тания и деления

Правило вычитания числа из сум мы

Правило деления произведения на число

( а + Ь ) - с = 1 ( * - с ) + Ь. « л и а ^ с ;

j а-\- ( Ь — с ), если Ь ^ с

если а

если b

с;

с

Правило вычитания суммы 'из числа

( Ь -\-с ) = (а — Ь ) — с = ( а — с ) — Ь, если а ^ Ь + с

Правило деления числа на произвед ение

а : ( Ь - с ) = ( а : Ь ) : с = (а :с ): Ь , если а \ Ь с , а

Правило деления суммы на число

(а - \-Ь ) :с = а : с -\- Ь : с , если а \ Ь и Ь \ с

Л . П . С т о й л о в а

А . М . П ы ш н а л о

основы

НАЧАЛЬНОГО

КУРСА

МАТЕМАТИКИ

Д о п у щ е н о М и н и с те рством просвещ ени я С С С Р

в ка че стве у ч ебн ого п особи я д ля у чащ и х ся

педагоги ческих у чи лищ по с пециальности № 2001

«П репод авание в начальн ых кла ссах

общ е обр азо вате льной ш колы»

М О С К В А « П Р О С В Е Щ Е Н И Е » 198 8

Б Б К 22.1

C8 I

Рецензенты : пр едм етная ( цикл овая) к омиссия Н огинского пед аг огич еск ого у чили

щ а им ени 5 0 -летня В Л К С М ; д окто р пе дагогических наук,

доцен т А. Г. М орд кович ( М Г З П И )

Ст ойло ва Л. П., П ы ш к ал о А. М .

С81

О сновы на чально го ку рса математики: Учеб. по собие для

учащих ся пед. у ч-щ по спец. № 2001 «Преподавание в нач.

кл ассах о бщеобразоват. шк.» — М.: П росвещение, 1988.—

320 с.: ил.

ISBN 5-09-000482-Х

П особ ие написан о о соо тветс твии d програм мой д л я пед аго гическ их

у чилищ . Н ар яду с те орети ческим м атериалом в нем содерж ится б ольш ое

о в л ад ев ать профессиПЙал'ьными у мс₁щ ям н<^.ж | Д 1

3000400—432 _ Г.!*' * * «,ЛГД № I

.4308000400—432 „

_____ .

—

--- ( н тн и П пиан « и ^ п .г *7”7 СО ти~

ББК 22.1

-----₁₀3 ( U3) —88— С водный план ли'Г ~рьГ77—Я8

ISBN 5-09-000482-Х

© Издате льс тво «Про свеще ние», 1988

П Р Е Д И С Л О В И Е

Успешное обучение мате мат ик е младших школьников, требует

от учите ля не тол ько методического мас тер ства , но и глуб окого

пон им ания сути мат емат ических по нятий и ф актов. Дело н е тол ь

ко в том, что в на чал ьных клас сах за кладываются основы таких

ва жне йших по нятий, ка к «число» и «величина », происходи т о зна

комление с э лем ентам и буквен ной сим волики и геометрии, разв и

вают ся логич ески е умения, но и в том, что многие матем атиче ские

пон ятия младш ие ш ко льни ки используют без ст рогих о пред елений,

а во многих с лучая х и неявно. Все это предъявляет особые требо

ва ния к м атемат ич еск ой подготовке учителя нач альной школы .

Он дол жен владет ь поня тиями на тур аль ного ч ис ла и величины,

зна ть разл ич ные опр еде лени я арифме тических действий на д ч ис л а

ми, их свойства, уметь выполня ть и объ яснять устные и пи сьмен

ные вы чис ления, обосновы ва ть выб ор д ейст вия и у станавлив ать

вид за висим ости м ежду величи нами при решении текстовых за дач.

Учителю необ ходимо и уме ние использовать уроки математики д ля

вос пита ния учащ ихся , в частности д ля форм ир ован ия у них основ

на учного мировоззр ения.

Данно е учебное по собие написано в соответствии с пр ограм

мой и на це лено на р ешение задачи обеспечени я б удуще го уч ителя

начальны х классов матем атичес кой подготовкой, необходимой ему

д ля грамотного, творч еско го обучения и воспитания младших школь

ников, для дал ьнейшей работ ы по углублению и р асш ир ению м а

тематических знаний.

Стр уктур а по собия т ако ва : весь м атериал разбит на пять гл ав,

гл авы — на па р агр а фы , парагр а фы — на пункты. Каждый пункт

за канч ива ется у пражнениями, пр една знач енными к ак д ля более

глуб окого усвоени я теории, так и для ф орм иро ва ния у буд ущего учи

теля ряд а про фес сиональ ных умений. Наприме р, умений р еш ать

текс товые за дач и и а нализировать м ате мат ическое с одержание

за даний , вы полняемых учащим ис я.

П роф е ссиональная на пр авленн ость пособия д остигается по

сред ством опр еде ленного от бора т еоре тического мат ери ала и ме

т одичес ких подходов к его из ложению, путем вклю чения зад аний,

выполняем ых м лад шими школьниками (они в основном взяты из

д ействующих учебников по ма тем атике д л я начальных кл ассов ).

При нап ис ании § 4 « Те кст овые за д ачи и их решение» а вторы

использовали м ате риал ы, под гото вленные С. Е. Ц аревой и Р. Н. Ши-

ковой.

Г лава I

О Б Щ И Е П ОН ЯТИЯ М АТЕМ АТ И К И

§ 1. Математические поняти я

1. Введение

М ате матика , как и д ругие науки, изуча ет окружающий нас

мир, природные и обществе нны е явл ения , но изуч ает л иш ь их осо

бые стороны. Н апример , в геометрии изу чают фор му и разме ры

пред метов, не при нимая во вн има ние другие их свойства : цвет,

массу, твердость и т. д. От всего этого о твлекаются, а б страги

р уются. Поэ тому в геоме трии вместо слова «предмет» го ворят:

«Геометрическая ф игу ра». Отрез ок, луч, прямая , угол, окр ужно сть ,

квад рат — гео метрические фигуры .

Результатом а б страгирования яв ляются и т акие ва жнейшие м а

тем атиче ские поняти я, ка к «число» и «величина».

Воо бще л юбые м ате мат ич еские об ъект ы — это результат выде

лени я из пре дметов и явлений ок ружаю щего мира количествен

ных и про странст ве нны х с войст в и отношений и а бстрагирован ия их

от всех других свойств. Следовательно, мат емат ич еск ие объекты

реально не существую т, нет в о круж ающем нас мире геометри

ческих ф игур, чисел и т. д. Все они созданы человеческим умом

в пр оце ссе истори ческого р азвития обще ства и с уществуют л ишь

в мышлен ии челове ка и в тех зна ках и символах, которые о б ра

зую т математический язы к.

Более того, при образовании мате матичес ких объек тов про

исходит не только абстрагирование от многих с войст в с оответ

ствующих пр едметов, но и при писывание им таких свойств, кото

рыми ни какие реальны е предметы не обл адают. Н апример, в т а

ком мате матическом объек те, как прямая , о тра жено не только с во й

ст во прот яже ннос ти реальн ых пр едметов, но и, как известно, свойство

неограниченн ой прот яже ннос ти в обоих направл ениях, хотя никакой

из реальн о с ущес твующих предмето в таким свойством не о бла дает.

Возн икает вопрос: как же с ло жилось т акое пре дст авлени е о

мате матиче ских объекта х и зачем оно нужно?

Вот как отве чают на этот вопрос А. Д. Але ксандр ов. А. Л. Вен

гер и В. И. Ры ж ик1:

« Мож но указать д ве ос новные причины того, что сложил ис ь

и ут вердили сь идеал ьные геоме триче ские пред ста вл ения.

' А л е к с а н д р о в А. Д . н д р. Гео метр ия д ля 9 — 10 клас сов : У чоб. пособие

д л я у ч ащ их ся школ п классо в с угл убленны м изучен ием м атем ати ки .— М ., 1984.—

С. 6 - 7 .

4

П ервую причину легко понять из приме ра провед ения от резка .

З емле мер ы в Древн ем Егип те втык али в землю д ва колышка и прот я

гивали меж ду ними веревку . Но колышки можно взять потоньше, а

вместо веревки — тонкую нить. И не видно, почему нельз я уточ

нять это д аль ше.

Таким о бра зом, пе рвая пр ичина состоит в том, что практика

и нагл яд но е представлени е вс егда по казывал и и показываю т во з

можность сдела ть фо рмы тел и ге ометр иче ское построение бо лее

точными. Так, пр едст авляя себе пр одолжени е от резка прям ой, мы не

видели при нципиальных ему границ, и возникает пре дст авлени е о

неограниченно пр одол женной прямой.

Неточн ости с вязаны с особенн остями мате риал ьных тел, с т е

ми или иными услови ями. Но все это явл яется по сторонним и с лу

ч айным по отношению к сущ ест ву самих ге ометри чески х построений.

Поэ тому эти пост роения выступают в пр инципе как неограниченно

у точняемые, т ак же ка к форма и р азмер ы т ела пр едс тав ляются в

пр инципе не ограниче нно уточняемыми.

О тсюда возник ает предст авлени е об ид еальных ге омет риче

ских фигурах . Рас сматривает с я, на пример, т реугол ьник не дере

вянный, не же лезный, ник акой другой, а тр еугол ьник во обще и,

значит, ид еал ьный треу гольник.

Вт орая причина того, что это пр едс тавл ение сложилось и ут

вердилось, тесно с вязанная с первой, зак лючается в том, что точ

ное рассуждени е треб ует идеал ьно точно определенн ого пре дме

та. Д ля того, чтобы д ела ть выводы, чтобы реш ать пра ктические

задачи, нужн ы четкие правила. А т очные правила требую т точ

ных понятий, тем б олее точных понятий тр ебует точная теория.

В этом вт орая при чина утв ерж дени я идеальн ых понятий геомет рии.

Продолж ающееся и теперь уточнение ге ометрически х понятий не

разрывн о с вяз ано с уточнением м ате мат ич еских расс ужде ний — оп

ределений и д ок азат ель ств . А точна я теория нужна в конечном

счете д ля пр именения в на уке и техни ке, т ак же как в точной р а

боте нужен хороший точный инструмент».

К сказа нн ому мож но д обавить, что, изу чая пространственн ые

формы и количе ственные от ноше ния матери аль ного мира, м атемати

ка не то лько поль зу ется р азличны ми при емами абстр аг ир ован ия,

но и само а б страгирование выступает как мн огост упенча тый про

цесс. В мат ематике р ассма трива ют не толь ко пон ятия, по яв ив

шиеся при изучении ре альных предмет ов, но и с войс тва понятий,

возникших на основе первых. Н апример, пон ятие переменной явл яе т

ся абс тракцие й конкрет ных переменных величин, т. е. а бст ракцией

от абс тракции.

В своем развитии математика прош ла несколько этапо в, соз

д а вая на кажд ом из них опред еленн ые способы позн ания и осм ыс

ле ния разно обр азных форм и количест венн ых отношений м атериаль

ного мира. В частн ости, был созда н широ ко рас про стран енный в

на сто ящее время т акой метод изучения действ ительност и, как ме

тод по строения ма тем атиче ских моделей. Он за ключае тся в при

б лиженном описании с помощью мат ематиче ской символик и ка-

кой-либо совокупности явлений внешнего ми ра. И зу чая модели, м ате

м атик а из учает тем сам ым и саму р еальную действительност ь.

Так, зн а ние свойств функц ии у — кх по зво ляет о пис ыва ть особе н

ности зави симостей м ежду различными величи на ми: време нем и

рас сто яни ем пря молине йного р авномер но го движения, количеством и

стоимостью товара и др.

Воо бще абс тр актно сть мат ематики позвол яе т применять ее в

самых р азных о бла стя х зн ания, посколь ку она представляет со

бой могущес твенный инс трумент позн ания природы и с озд ания т ех

ники.

Упражнения

1. Р ешите с леду ющ ие за дачи и объясните, какие геометрические

фигуры вы сту па ют в них в ка честве иде альных моделей реа льны х

предмет ов:

1) Д лин а школьног о к оридо ра 30 м, а ширин а 5 м. Какова

пло щ адь ш кольного кор ид ора? 2) Земл етр яс ение рас пространяет ся

на земной поверхности со скоростью 0,8 км /с . Какую пл ощадь мо

же т ох ватить земл етр яс ение через 10 с? 3) Прям оугольн ый учас ток

зе мли р азмер ом 130 X 60 м о копали рвом шириной 1 м, причем ров

выкопа ли на участке. Какова но ва я пло щадь учас тка? 4) П л а ват е ль

ный бас сейн пря моуголь но й ф ормы имеет длину 50 м, ширин у 24 м

и глубину 3 м. Сколь ко куби ческих метр ов воды вм ещает басс ейн,

если урове нь воды в б асс ейне на 50 см ниж е его б орта?

2. Какая функц ия являе тся мо делью зависимостей, р ассм а три

ва емых в за д ачах:

1) Путь от Л д о В тур ист прошел за 3 ч. З а сколько времени

турист прошел бы тот ж е путь, если бы шел в 1,5 р аза быстрее?

2) Совхозн ое поле три трактора могут вс пахать за 60 ч. З а

како е время вс па шут это поле 9 так их т ракторов?