13.2. Основи алгебри логіки
Основи двозначної алгебри логіки були закладені в середині ХІХ століття англійським математиком Джорджем Булем. Hа можливість застосування алгебри логіки для аналізу технічних систем вперше вказав П.С. Еренфест (1910 р.), а в 1939 р. К. Шеннон застосував алгебру Буля для розрахунку релейних схем. В даний час математичний апарат алгебри логіки є основою проектування цифрових пристроїв, особливо комбінаційних схем. Нагадаємо основні положення алгебри логіки.
Символи 0 і 1 в алгебрі логіки не мають кількісного змісту і використовуються для позначення якості висловлень: наприклад, хиба й істинна, немає і є і т. д. Для подання логічної функції використовують аналітичний, або табличний метод. Табличний метод є більш громіздким, але зате він значно наочніший. При використанні табличного методу будують так називану таблицю істинності, у якій приводяться всі можливі варіанти аргументів і відповідні їм значення логічної функції. Для аналітичного запису багато логічних операцій позначають спеціальними символами. Так, риска над змінною позначає логічне заперечення (інверсію), знак V-логічне додавання, а знак множення (точка) — логічне множення. Три перераховані функції часто називають основними функціями, тому що вони складають функціонально повну систему, за допомогою якої можна найбільше просто виразити будь-яку іншу логічну функцію. Взагалі ж, функціональною повнотою володіють багато систем функцій.
Число аргументів однозначно визначає число різних функцій від цих аргументів. При числі аргументів, рівному п, число їхніх різних комбінацій складає 2n, а число функцій уже 4n.
З
усіх функцій, найбільший інтерес
представляють функції I—НE (Y=
)
чи АБО—НЕ (Y=
),
тому що кожна з них утворює функціонально
повну систему.
Нижче приведені найбільш традиційні форми таблиць істинності для логічних функцій І, І—НЕ, АБО і АБО—НЕ при трьох змінних.
Таблиця 13.1
Змінна |
Логічна функція |
|||||
Х1 |
Х2 |
Х3 |
І |
І - НЕ |
АБО |
АБО - НЕ |
0 0 0 0 1 1 1 1 |
0 0 1 1 0 0 1 1 |
0 1 0 1 0 1 0 1 |
0 0 0 0 0 0 0 1 |
1 1 1 1 1 1 1 0 |
0 1 1 1 1 1 1 1 |
1 0 0 0 0 0 0 0 |
Таким чином, при будь-якім числі змінних значення
— функція І рівна логічний 1 тільки при рівності 1 усіх змінних;
— функція І-НЕ рівна логічному 0 тільки при рівності 1 усіх змінних;
— функція АБО рівна логічному 0 тільки при рівності 0 усіх змінних,
— функція АБО-НЕ рівна логічній 1 тільки при рівності 0 усіх змінних.
Як і в звичайній алгебрі (алгебрі чисел) в алгебрі логіки існують теореми, знання яких значно полегшує дії з логічними змінними
Комутативний закон:
Х1•Х2==Х2•Х1 Х1VX2=X2VX1
Асоціативний закон:
Х1•(Х2•ХЗ)=(Х1•Х2)•ХЗ: X1V(X2VX3)=(X1VX2)VX3
Дистрибутивний закон:
XI•(X2VX3)=X1•X2VX1•X3: 1V(X2•X3)=(X1VX2)•(X1VX3)
Правило повторення:
Х•Х=Х XVX=X
Правило заперечення:
Х•
=0 XV
=1
Правило подвійного заперечення:
=X
Правило склеювання:
X1(X1VX2)=X1 X1V(X2•X2)=X1
Теорема Моргана:
Операції з 0 і 1:
X•1=X XV0=X
X•0=0 XV1=1