Пространство элементарных исходов. Классическое определение вероятности. Простейшие свойства вероятности.

Иногда, приходится рассматривать множество исходов, соответствующих одному событию. Полный список всех возможных исходов будет представлять собой множество. Каждый исход эксперимента соответствует в точности одному элементу из этого множества. Каждый элемент множества называется элементарным событием.

Если А – событие, то P(A)=^m_n, где m – число исходов, благоприятствующих событию; n – общее число исходов, которые попарно несовместимы.

Свойства: 1)вероятность достоверного события=1. Если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию, в этом случае m=n, следовательно P(A)=1. 2)вероятность невозможного события=0. Если событие невозможно, то не один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию, в этом случае m=0, следовательно Р(А)=0. 3)вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1. Случайное событие благоприятствует лишь части из общего числа элементарных исходов испытания.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Формула Пуассона.

Локальная теорема Муавра-Лапласа – вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0<p<1), событие наступит равно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n) P_n(k)=1·Ф(х)/ n·p·g . Интегральная теорема Муавра-Лапласа – вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0<p<1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна P(k₁;k₂)=Ф(x”)-Ф(x’).

Если число испытаний велико, а вероятность p появления события в каждом испытании очень мала, то используют формулу Пуассона – P_n(k)=^ke^-/k!, где k-число появлений события в n независимых испытаниях, =np (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Вероятность отклонения относительной частоты события от его вероятности в повторных независимых испытаниях.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0<p<1), абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа E, приближенно равна удвоенной функции Лапласа при х= E n/p·g :

Важнейшие законы распределения ДСВ (биномиальный, закон Пуассона).

Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень её возможных значений и соответствующих им вероятностей. Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p; вероятность возможного значения x=k (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли: P_n(K)=C^k_n·p^k·g^n-k. Если число испытаний велико, а вероятность p появления события в каждом испытании очень мала, то используют формулу Пуассона – P_n(k)=^ke^-/k!, где k-число появлений события в n независимых испытаниях, =np (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.