1. Класична лінійна багатофакторна модель

Узагальнена багатофакторна лінійна регресійна модель (УБЛРМ) може бути записана у вигляді

(4.1)

де y– залежна змінна;

x_i - незалежні змінні (фактори);

_i - параметри моделі (константи) які потрібно оцінити;

- неспостережувана випадкова величина.

Вибіркова лінійна багатофакторна модель має вигляд

де y– залежна змінна;

x_i - незалежні змінні (фактори);

b_i - оцінки параметрів УБЛР -моделі;

e_i - випадкова величина (помилка).

Лінійною регресійною моделлю називається модель, лінійна за своїми параметрами.

За введеними позначеннями БЛРМ має р незалежних змінних, які впливають на залежну змінну у, та (р+1) невідомих параметрів, які потрібно оцінити

1.1 Основні припущення у багатофакторному регресійному аналізі

До шести припущень, вказаних для однофакторної моделі, для багатофакторної додається ще одне припущення

Припущення 7. Мультиколінеарність між факторами х відсутня. Тобто фактори незалежні між собою.

Якщо припустити протилежне, тобто наявність, наприклад лінійної залежності між факторами х₁ та х₂ х₂=3х₁, то важко визначити окремий вплив кожного з цих факторів на у. Але у цьому випадку мова йде тоді не про два незалежних фактори, а про один вираз (4.1) можна переписати, виключаючи х₂.

Математично відсутність колінеарності між двома факторами визначається через відсутність чисел ₁ та  ₂, які одночасно не дорівнюють нулю, для яких би виконувалась тотожність

 ₁х_1і+ ₂х_2і=0, і=1,n (4.2)

1.2.Етапи побудови багатофакторної регресійної моделі

1.2.1 Вибір та аналіз усіх можливих факторів, що впливають на пояснювальну змінну. Бажано визначити якмога більше впливових факторів, розглянути процес з макроекономічних і мікроекономічних позицій, порадитися з фахівцями досліджуваного об’єкту.

1.2.2 Кількісний аналіз знайдених факторів. На цьому етапі вимірюються або збирається статистика для кідькісних даних, підбирається або розробляється балова шкала оцінок для якісних даних. Фактори, які неможливо виразити кількісно, або данні за якими відсутні вилучаються з аналізу. В результаті цього етапу усі фактори подані у вигляді динамічних або варіаційних рядів.

1.2.3 Математико-статистичний аналіз факторів. Цей етап найважливішим підготовчим етопом для побудови регресійної багатофакторної моделі, на якому остаточно формується необхідна інформаційна база.

1.2.3.1 При недостатній інформації за допомогою спеціальних методів проводиться її відтворення.

1.2.3.2 Перевіряються основні припущення класичного регресійного аналізу.

Для перевірки факторів на мультколінеарність спочатку будується матриця кореляції R коефіцієнтів парної кореляції r_xixj між і-им та j–им факторами, яка є симетричною і має вигляд

(4.3)

де – і=j=1,k

r_ухj – коефіцієнт кореляції між j–им фактором і залежною змінною у.

Потім аналізуються коефіцієнти парної кореляції між факторами. Якщо значення коефіцієнта парної кореляції між змінними наближається до 1, то це свідчить про наявність між ними щільного зв’язку, тобто мультиколінеарності. Тоді один з факторів необхідно залишити, а інший вилучити. Найчастіше залишають фактор, більш вагомий з економічної точки зору за впливом на залежну змінну у, або фактор, який має більший коефіцієнт кореляції із залежною змінною.

Таким чином, результатом третього етапу є множина незалежних між собою факторів, які є базою для побудови регресійної моделі.

1.2.4 Вибір методу та побудова моделі. Метод побудови моделі і модель тісно пов’язані між собою, тобто саме метод впливає на остаточний вигляд моделі.

1.2.5 Оцінка невідомих параметрів за МНК.

1.2.6 Перевірка моделі на адекватність за F-критерієм Фішера та перевірка значимості знайдених параметрів за t-критерієм Ст’юдента.

Якщо модель не адекватна, то повертаються на етап побудови моделі, вводять додаткові фактори, або переходять до нелінійної моделі. Якщо модель адекватна переходять до наступного етапу.

1.2.7 Побудова інтервалів довіри, розрахунок основних характеристик (впливу окремих факторів на залежний показник, прогнозних характеристик), інтерпретація результатів.

Якщо взяти математичне сподівання (4.1), то ми отримаємо умовне математичне сподівання у при фіксованому значенні х

(4.4)

Параметри _i називаються частковими коефіцієнтами регресії і вимірюють вплив відповідної змінної на залежну змінну за умови, що всі інші змінні залишаються константами.