Комбінація моделей адаптивних очікувань і частковихпристосувань
Розглянемо таку модель:
(5.4.26)
де
—
бажаний запас капіталу, а
—
очікуваний рівень випуску.
Оскільки як так і не можна спостерігати безпосередньо, можна використовувати механізм часткового пристосування для і механізм адаптивних очікувань для , щоб отримати таке рівняння (приклад 5.4.6):
(5.4.27)
де
= [
- (1
-
)
].
Ця
модель також є авторегресивною, а єдиною
відмінністю від чистої моделі адаптивних
очікувань є те, що серед незалежних
змінних поряд з
є також
.
Як і в моделях Койка та адаптивних
очікувань, помилка в
(5.4.27)
є середнім ковзним процесом. Іншою
відмінністю цієї моделі є те,
bщо
хоча модель є лінійною за параметрами
,
вона
нелінійна за початковими параметрами.
Відоме застосування (5.4.27) запропонував Фрідман у своїй гіпотезі постійного доходу, яка стверджує, що "постійне" або довгострокове споживання є функцією від "постійного" або довгострокового доходу.
При оцінці (5.4.27) виникають ті ж проблеми, що й при оцінці моделей Койка або адаптивних очікувань, — усі ці моделі є авторегресивнимизі подібною структурою помилок. Крім того, (5.4.27) включає в себе також деякі проблеми нелінійних оцінок, які ми коротко розглянемо в прикладі 5.4.13, але не будемо детально розглядати в цьому підручнику.
Оцінювання параметрів авторегресивних моделей
Ми розглянули три моделі.
Модель Койка:
.
(5.4.12)
Модель адаптивних очікувань:
.
(5.4.19)
Модель часткових пристосувань:
.
(5.4.25)
Усі ці моделі можна подати в такій загальній формі:
,
(5.4.28)
тобто всі вони за природою авторегресивні.
Постає проблема оцінювання невідомих параметрів цих моделей, тому що до них не можна прямо застосувати метод найменших квадратів з двох причин: серед пояснювальних змінних є стохастичні, а також існує можливість серійної кореляції.
Як
уже зазначалося, для того, щоб застосувати
класичний метод найменших квадратів,
треба показати, що стохастична пояснювальна
змінна
розподілена
незалежно від випадкової величини
.
Щоб
визначити, чи це справджується, необхідно
знати властивості
.
Якщо припустити, що початкова випадкова
величина
задовольняє
всім класичним припущенням, таким як Е
(
)
= 0, vаг(
)
= соnst
(припущення гомоскедастичності) і
соv(
,
)
= 0 для s
0
(припущення відсутності автокореляції),
може
й не успадковувати всі ці властивості.
Розглянемо, наприклад, помилку в
моделі
Койка,
=
(
).
Якщо всі припущення щодо
правильні,
то
легко
показати, що
серійно
корельоване, тому що
,
(5.4.29)
і це не дорівнює нулеві (інакше буде нульовим). А оскільки у моделі Койка належить до пояснювальних змінних, воно, очевидно, повинно корелюватися з (через наявність у ньому ). Фактично, це можна показати таким чином:
,
(5.4.30)
що відповідає (5.8.2). Читач може переконатись, що аналогічні міркування справджуються і для моделі адаптивних очікувань.
Для чого потрібно знати, що в моделі Койка, як і в моделі адаптивних очікувань, стохастична незалежна змінна корелюється з випадковою величиною ? Як зазначалося вище, коли пояснювальна змінна корелюється з випадковою величиною, оцінки методу найменших квадратів не лише зміщені, але й не є напевно консистемними; таким чином, навіть якщо розмір вибірки нескінченно зростатиме, оцінки не наблизяться до реальних значень генеральної сукупності. Отже, оцінка моделі Койка і моделі адаптивних очікувань за допомогою звичайного методу найменших квадратів може призвести до істотно помилкових результатів.
Модель часткових пристосувань відрізняється від попередніх. У цій моделі = , де 0 < < 1. Таким чином, якщо задовольняє припущенням класичної лінійної регресійної моделі, то теж буде задовольняти цим припущенням. Отже, оцінювання моделі часткових пристосувань методом найменших квадратів дає консистентні оцінки, хоча вони будуть зміщеними (в кінцевих або маленьких вибірках). Інтуїтивно причина консистентності оцінок полягає ось у чому: хоча залежить від і всіх попередніх значень, вона не пов'язана з поточним значенням . Таким чином, доки буде серійно незалежною, теж буде незалежною або, принаймні, некорельованою з , задовольняючи, таким чином, важливе припущення методу найменших квадратів — некорельованість між пояснювальною змінною (змінними) і випадковою величиною.
Хоча оцінювання моделі часткових пристосувань методом найменших квадратів забезпечує консистентні оцінки через те, що помилка в такій моделі має просту структуру, не можна припускати, що ця модель більш застосовувана, ніж модель Койка або модель адаптивних очікувань. Модель потрібно вибирати на основі серйозних теоретичних міркувань, а непросто тому, що її легше статистично оцінити. Кожну модель треба застосовувати з огляду на її власні переваги, зважаючи на елементи стохастичності, які можуть у ній трапитись. Якщо до таких моделей, як модель Койка або модель адаптивних очікувань, метод найменших квадратів неможна застосовувати прямо, потрібно знайти інші методи, щоб оцінити їх. Є кілька альтернативних методів оцінювання, хоча деякі з них можуть бути складними для обчислень. Розглянемо один з таких методів.