5.4.2. Оцінка параметрів дистрибутивно-лагових моделей

Якщо припустити, що дистрибутивно-лагові моделі відіграють важливу роль в економіці, як можна оцінити параметри такої моделі? Нехай ми маємо таку дистрибутивно-лагову модель з однією пояснювальною змінною:

, (5.4.5)

де ми не визначаємо довжину лагу. Така модель має назву нескінченна (лагова) модель, тоді як модель типу (5.4.1) називається скінченною дистрибутивно-лаговою моделлю, оскільки в ній визначена довжина лагу . Надалі будемо використовувати модель (5.4.5) як загальний випадок. Зразу ж постає питання, як оцінити невідомі параметри і в моделі (5.4.5)? Це можна зробити за двома способами: послідовного оцінювання та апріорного оцінювання, припускаючи, що мають певну систематичну закономірність.

5.4.2.1. Послідовна оцінка дистрибутивно-лагових моделей

Оскільки припускається, що нестохастичні (або принаймні не корелюються з помилковою ), то , , ...теж нестохастичні. Таким чином, до (5.4.5) можна застосувати метод найменших квадратів. Цей підхід застосували Ф. Альт і Дж. Тінберген. Вони припустили, що для того, щобоцінити (5.4.5), потрібно діяти послідовно: тобто спочатку побудувати регресію за та оцінити невідомі параметри, потім — регресію за і за , потім — за , і і так далі. Ця послідовна процедура припи-няється, коли параметри при лагових змінних починають бути статистично незначними та (або) коефіцієнт хоча б однієї змінної змінює свій знак. Згідно з цим принципом Альт досліджував залежність споживання пального і мастил у від надходження нових замовлень х. Базуючи свої спостереження на щоквартальних даних за 1930—1939 рр., він отримав такі результати:

;

;

;

.

Альт обрав друге рівняння як "найкраще", тому що в останніх двох знак , не був стабільним, а в четвертому знак , став від'ємним, що могло спричинити труднощі при економічній інтерпретації.

Хоча метод послідовних оцінок здається повним, він має багато недоліків.

1. Спочатку невідомо, яка максимальна тривалість лагу.

2. При оцінці послідовних лагів залишається менше ступенів вільності, що робить економічні висновки дещо непевними.

3. В економічних даних послідовні значення змінних звичайно мають високу кореляцію; таким чином, з'являється проблема мультиколінеарності.

З огляду на наведені вади метод послідовних оцінок має дуже мало переваг для того, щоб його можно було рекомендувати для використання на практиці.

5.4.2.2. Підхід Койка до дистрибутивно-лагових моделей

Койк запропонував досить цікавий метод оцінки дистрибутивно-лагових моделей. Припустимо, ми починаємо з дистрибутивно-лагової моделі з невизначеним лагом (5.3.1). Припускаючи, що мають той самий знак, Койк припустив також, що вони змінюються в геометричній прогресії:

=0, 1, … , (5.4.6)

де такі, що 0 < < 1 — темп зменшення дистрибутивного лагу, а (1 - ) —швидкість пристосування. Співвідношення (5.4.6) показує, що кожний наступний коефіцієнт менший, ніж попередній (оскільки < 1), тобто зкожним наступним кроком у минуле вплив лагу на поступово зменшується, що є досить імовірним припущенням. Значення лагового коефіцієнта залежить, крім загального , також і від . Чим ближче значення до 1, тим повільніший темп зменшення , а чим ближче він до 0, тим швидше спадає . У попередньому випадку віддалені в минулому значеннях досить сильно впливали на , тоді як у нашому випадку їхній вплив на швидко зменшується. Це добре видно в табл. 5.7.

Таблиця 5.7

0.75		0.75	0.56	0.42	0.32	0.24		0.06
0.25		0.25	0.06	0.02	0.004	0.001		0

Слід зазначити, що метод Койка має такі переваги:

• припускаючи, що можуть бути від'ємними, Койк абстрагувався від зміни знака коефіцієнта при ;

• завдяки тому, що < 1 віддалені за часом, значення стали менш впливовими, ніж поточні;

• сума , яка складає довгостроковий мультиплікатор, є скінченною, тобто

. (5.4.7)

Як результат (5.4.6), модель з кінцевим лагом (5.4.7) можна записати таким чином:

(5.4.8)

Як бачимо, модель (5.4.8) також незручна для оцінки, оскільки залишається дуже велика (фактично нескінченна) кількість оцінюваних параметрів, крім того, параметр входить до моделі в нелінійній формі: тобто метод лінійної (за параметрами) регресії не можна застосувати до цієї моделі. Але Койк пропонує модифікований метод, який полягає в тому, що в модель (5.4.8) вводиться затримка на один період. Виходячи з цього,модель записується таким чином:

. (5.4.9)

Далі помножуємо (5.4.9) на і отримаємо:

. (5.4.10)

Віднявши (5.4.10) від (5.4.8), маємо:

, (5.4.11)

або

(5.4.12)

де . Ця процедура відома як перетворення Койка. Порівнюючи (5.4.12) з (5.4.5), бачимо надзвичайне спрощення моделі. Якщо раніше нам треба було оцінювати параметр та нескінченну кількість параметрів , тепер достатньо оцінити лише три змінних: , і , тобто немає причин очікувати мультиколінеарність. Фактично ми позбулись мультиколінеарності заміною , . ... на одну змінну, тобто .

Зазначимо деякі особливості трансформації Койка.

1. Трансформація Койка переводить дистрибутивно-лагову модель в авторегресивну, оскільки серед незалежних змінних залишається .

2. Поява може спричинити ряд статистичних проблем: , як ,— стохастична; це означає, що в модель ми вводимо стохастичну змінну.

Згадаємо, що класичний метод найменших квадратів базується на загаль-ному припущенні про те, що незалежні змінні або нестохастичні, або, якщо стохастичні, то розподілені незалежно від випадкової величини . Таким чином, ми повинні перевірити, чи задовольняє , цьому припущенню.

3. У початковій моделі (5.4.5) помилка дорівнювала , а в перетвореній . Тепер статистичні властивості залежать від статистичних властивостей . Як буде показано пізніше, якщо серійно не корельовані, то серійно корельовані. Таким чином, ми можемо зіткнутися з пробле-мою серійної кореляції щодо стохастичної пояснювальної змінної .

4. Наявність лагового значення у порушує одне з припущень d-тесту Дарбіна — Уотсона. Отже, нам потрібно розробити альтернативу для тес-тування серійної кореляції при лаговому у. Цією альтернативою є h-тест Дарбіна, який ми розглянемо пізніше.

Середні і медіанні лаги

Як ми вже бачили в (5.4.4), часткові суми стандартизованих показу-ють пропорцію довгострокового або загального впливу на певному про-міжку часу. Але на практиці для характеристики природи лагової струк-тури в дистрибутивно-лаговій моделі використовують середні або медіанні лаги.

Медіанний лаг. Це час, потрібний для половинної (50%-ної) загальної зміни у після одиничної зміни х. Для моделі Койка медіанний лаг дорівнює

. (5.4.13)

Отже, якщо =0.2, то медіанний лаг дорівнюватиме 0.4306, але якщо =0.8, то медіанний лаг 3.1067. У першому випадку 50% зміни загального значення у відбудеться менш ніж через половину часового періоду, а вдругому випадку для половинної зміни у потрібно більше ніж 3 часових періоди. Але це не повинно викликати здивування, оскільки відомо, що чим вище значення , тим менша швидкість впливу, і навпаки (див. приклад 5.4.9).

Середній лаг. Середній лаг обчислюється за такою формулою:

. (5.4.14)

Він фактично є зваженим середнім усіх лагів, включених до моделі, з відповідними коефіцієнтами . Для моделі Койка середній лаг обчислюється за формулою

. (5.4.15)

Таким чином, якщо = 1/2, то середній лаг дорівнює 1, тобто половинний вплив зміни залежної змінної у стане відчутним протягом першого проміжку часу (див. приклад 5.4.10).

Отже, медіанний і середній лаги використовуються для вимірювання швидкості, з якою у відповідає на зміни в х. У прикладі, наведеному в підрозділі 5.4.1, середній лаг дорівнює приблизно 11 кварталам, тобто потрібен певний час, щоб відчути зміну цін після зміни грошової пропозиції.