5.4. Авторегресивні і дистрибутивно-лагові моделі

5.4.1.Природа авторегресивних моделей. Приклади практичного застосування авторегресивних моделей

У регресійному аналізі, якщо регресійна модель включає не лише по-точні, а й попередні (лагові, або затримані) значення незалежних змінних (х), вона має назву дистрибутивно-лагова модель. У той же час, якщо до моделі включене одне або більше попередніх значень залежної змінної (у),вона має назву авторегресивна модель. Таким чином,

є дистрибутивно-лаговою моделлю, а

є прикладом авторегресивної моделі. Такі авторегресивні моделі також відомі під назвою динамічних моделей, оскільки вони відображають часові зміни залежної змінної щодо її попереднього (попередніх) значень. Авторегресивні і дистрибутивно-лагові моделі широко використовуються в економетричному аналізі, і в цьому параграфі ми докладно розглянемо їх, щоб з'ясувати такі питання.

1. Яку роль відіграють лаги в економіці?

2. Яка причина цих лагів?

3. Чи є якесь теоретичне обгрунтування широкого використання лагових моделей в економетриці?

4. Як пов'язані між собою авторегресивні і дистрибутивно-лагові мо-делі?

5. Які статистичні проблеми можуть виникнути при оцінці параметрів таких моделей?

5.4.1.1. Приклади використання лагових моделей в економіці. Роль "часу" або "часового лагу" в економіці

В економіці рідко трапляється миттєва залежність змінної у (залежної змінної) від іншої незалежної змінної (змінних) х. Дуже часто значення у змінюється через невеликий проміжок часу після зміни значення х. Такий проміжок часу називається часовим лагом. Щоб проілюструвати природу часового лагу, розглянемо кілька прикладів.

Приклад 5.4.1. Функція споживання. Припустимо, людина отримала щорічне підвищення заробітної плати на 1200 гривень, припустимо також, що це підвищення — постійне, зберігатиметься й протягом наступних років. Як буде впливати таке підвищення доходу на схему щорічних витрат споживання цієї людини?

Загальноприйнята практика показує, що люди, отримавши таке підвищення доходу, не витрачають його одразу. Припустимо, що людина може вирішіти підвищити свої витрати на споживання на 480 гривень у перший рік після підвищення доходу, на 360 гривень на другий рік і на 240 гривень на третій рік, заощаджуючи решту. На кінець третього року щорічні витрати на споживання зростуть на 1080 гривень. Ми можемо записати функцію споживання для цієї людини таким чином:

, (5.4.1)

де у — витрати на споживання; х — доход.

Функція, або модель (5.4.1) показує, що ефект підвищення доходу на 1200 гривень був розподілений на 3 роки згідно з наведеними вище припущеннями. Моделі, подібні до (5.4.1), називають дистрибутивно-лаговими моделями, оскільки ефект від певної причини (наприклад, підвищення доходу) був розподілений серед декількох часових періодів (лагів).

У загальному дистрибутивно-лагова модель має такий вигляд:

. (5.4.2)

Вона називається дистрибутивно-лаговою моделлю з кінцевим лагом в періодів. Коефіцієнт відомий як короткостроковий, або впливовий мультиплікатор, тому що він показує вплив змінної х на зміну значення у в поточний період часу. Якщо зміна значення х триває, то показує зміну у у другий період, — в третій і так далі. Ці часткові суми мають назву проміжних інтервалів. Нарешті, через періодів отримаємо:

, (5.4.3)

що має назву довгострокового, або загального дистрибутивно-лагового мультиплікатора.

Якщо позначимо

, (5.4.4)

то отримаємо "стандартизоване" . Часткові суми стандартизованих показують пропорцію довгострокового або загального впливу на певний часовий період.

Повертаючись до регресії споживання (5.4.1), ми бачимо, що короткостроковий мультиплікатор, який є нічім іншим як короткостроковою граничною схильністю до споживання (МРС), дорівнює 0.4, а довгостроковий мультиплікатор, який є довгостроковою схильністю до споживання, дорівнює 0.4 + 0.3 + 0.2 = 0.9. Це значить, що після підвищення доходу на 1 гривню споживач підвищить свій рівень споживання приблизно на 0.4 гривні в рік підвищення, ще на 0.3 гривні на наступний рік і ще на 0.2 гривні на третій рік. Таким чином, довгостороковий вплив підвищення доходу на 1 гривню становить 0.9 гривні. Якщо ми поділимо кожне на 0.9, то отримаємо, відповідно, 0.44, 0.33 і 0.23, які показують, що 44 відсотки загального впливу на у після одиничної зміни в х відчуватимуться негайно, 77 відсотків — через рік, і 100 відсотків — на кінець другого року.

Приклад 5.4.2. Зв'язок між грошима та цінами. Як вважають монетаристи, інфляція — це в основному монетарне явище в тому сенсі, що постійне збільшення рівня цін прямо залежить від збільшення грошової пропозиції, яка значно перевищує ту кількість грошей, яка реально потрібна економічним одиницям. Звичайно, цей зв'язок між рівнем інфляції і грошовою пропозицією не є миттєвим. Дослідження показали, що часовий лаг між ними сягає від 3 до 20 кварталів. Результати одного з таких досліджень наведено в роботі К. Карлсона. Вони базуються на періоді спостережень з січня 1955 по квітень 1969 рр. (див. табл. 5.6).

, (0.395)

де Р = річна норма приросту дефлятора ВНП;

М= річна норма приросту грошової пропозиції.

Дослідження показують, що ефект 1%-ної зміни грошової пропозиції відчувається протягом 20 кварталів. Довгостроковий вплив 1%-ної зміни в грошовій пропозиції на інфляцію дорівнює . До речі, оскільки Р і М поданіу відсотковій формі, ( у загальній формі) показує еластичність Р щодо М, яка є відсотковою зміною ціни у відповідь на 1%-не збільшення грошової пропозиції. Таким чином, =0.041 означає, що при 1%-ному збільшенні грошової пропозиції короткострокова цінова еластичність становить 0.04 відсотка. Довгострокова еластичність становить 1.03 відсотка. Це означає, що в довгостроковому періоді збільшення грошової пропозиції на 1% спричинить майже такий самий відсоток збільшення цін. Тобто при 1%-ному збільшенні грошової пропозиції в довгостроковому періоді рівень інфляції збільшится на 1%.

Приклад 5.4.3. Лаг між витратами на дослідження та продуктивністю праці. Рішення інвестувати певні дослідження та кінцевий результат інвестування, який приводить, наприклад, до підвищення продуктивності праці, відділені значним лагом. Крім того, цей лаг фактично складається з декількох лагів, таких як лаг між вкладанням коштів і часом, коли фактично починають з'являтися нові ідеї і винаходи; лаг між винаходженням нового приладу або ідеї і його розвитком до стадії комерційного застосування (виробництва ) і, нарешті, лаг, представлений процесом заміни старих приладів накращі нові зразки.

Таблиця 5.6

	Коефі- цієнт			Коефі- цієнт			Коефі- цієнт
	0.041	1.276		0.048	3.249		0.069	3.943
	0.034	1.538		0.054	3.783		0.062	3.712
	0.030	1.903		0.059	4.305		0.053	3.511
	0.029	2.171		0.065	4.673		0.039	3.338
	0.030	2.235		0.069	4.795		0.022	3.191
	0.033	2.294		0.072	4.694
	0.037	2.475		0.073	4.468		1.031	7.870
	0.042	2.798		0.072	4.202	Середній лаг	10.959	5.634
	0.525
S.E	1.066
D.W.	2.00

Наведені вище приклади — це лише невеликі зразки використання лагів в економіці. Безсумнівно, кожен може сам навести кілька подібних прикладів із свого власного досвіду.