7.8 Основні поняття теорії ймовірностей

7.8.1 Інтегральна функція розподілу ймовірностей випадкової величини

Інтегральною функцією розподілу називають функцію F(x), яка визначає для кожного значення х імовірність того, що випадкова величина Х набере значення, меньше ніж х, тобто

Геометрично цю рівність можна уявити як х-імовірність того, що випадкова величина Х набере значення, меньше за те, яке відображається на числовій осі точкою, котра знаходиться ліворуч від точки х.

Випадкова величина буде називатися неперервною, якщо її функція розподілу неперервно диференційована.

Розглянемо властивості інтегральної функції розподілу.

1. Значення функції розподілу належать відрізку [0,1]:

2. F(x) – неспадна функція, тобто

Наслідок 1. Імовірність того, що випадкова величина набере значення, яке належить інтервалу (a, b), дорівнює приросту інтегральної функції на цьому інтервалі:

Наслідок 2. Імовірність того, що випадкова величина Х набере одного визначеного значення, дорівнює нулеві.

.

Наслідок 3. Якщо можливі значення випадкової величини належать інтервалу (a,b), то

Наслідок 4. Якщо можливі значення неперервної випадкової величини належать усій числовій осі х, то правильне таке граничне відношення:

.

7.8.2 Диференцфійна функція (функція густини) розподілу ймовірностей випадкової величини

Перша похідна від функції розподілу називається диференційною функцією:

7.8.2.1 Імовірність влучення неперервної випадкової величини у визначений інтервал

Теорема. Імовірність того, що неперервна випадкова величина Х набере значення, яке належить інтервалу (a,b), дорівнює визначеному інтегралу від диференційної функції функції у межах від а до b.

Якщо f(x) – функція парна і кінці інтервалу симетричні відносно початку координат, то

7.8.2.2. Властивості диференційної функції

1. Диференційна функція невід’ємна:

2. Невласний інтеграл від диференційної функції у межах від до дорівнює 1.

7.8.3 Імовірнісний зміст диференційної функції

Чисельник – це ймовірність того, що Х прийме значення, яке належить інтервалу ( ).

Таким чином, границя відношення ймовірності того, що неперервна випадкова величина набере значення, яке належить інтервалу ( ), до довжини цього інтервалу (при ), дорівнює значенню диференційної функції в точці х.

в точці х – це густина імовірності в цій точці.

З теорії диференційних обчислень відомо:

Імовірнісний зміст цієї рівності: імовірність того, що випадкова величина набере значення, яке належить інтервалу ( ), приблизно дорівнює (з точністю до нескінченно малих вищого порядку відносно ) добутку густини ймовірності в точці Х на довжину інтервалу .

7.8.4. Закон рівномірного розподілу ймовірностей

Диференційні функції розподілу також називають законами розподілу.

Розподіл ймовірностей називають рівномірним, якщо на інтервалі, в якому знаходяться всі можливі значення випадкової величини, диференційна функція має стале значення.

Приклад. Диференційна функція рівномірного розподілу, всі можливі значення якої знаходяться в проміжку (a,b), на якому вона зберігає постійне значення с.

При цьому:

Оскільки всі можливі значення знаходяться в інтервалі , то справедлива рівність: