2.6 Прогнозування за багатофакторною рекгресійною моделлю

Якщо побудована регресійна модель адекватна за F–критерієм Фішера, її можна використати для прогнозу залежної змінної в (n+k) період

y^_n+k=b₀+b₁x_1,n+k+...b_px_p,n+k (4.64)

або у матричній формі

y^_n+k= x’_p,n+k x b (4.65)

де x’_p,n+k ={1, x’_1,n+k, ..., x’_p,n+k }; b’={b₀, b₁, ..., b_p}

Точкові прогнозні значення знаходимо за (4.64) або (4.65), а інтервальний прогноз отримаємо для математичного сподівання залежної змінної та для індивідуального значення у. Дисперсії величини у будуть у цих випадках різними.

Можна показати, що

var(E(y_j/x_j))=var(y^_j/x_j)=²_x’_j(X’X)^-1x_j (4.65)

де ²_– дисперсія випадкової величини ; x’_j - вектор значень з р факторів у період j.

Виходячи з цього, інтервали довіри для 100(1-) рівня довіри математичного сподівання у дорівнюватимуть

(4.66)

Формула для дисперсії індивідуального значення змінної у має вигляд

var(y_j/x_j) =²_x’_j(X’X)^-1x_j) (4.67)

Звідси інтервали довіри для індивідуального значення у

(4.68)

КРИВІ ЗРОСТАННЯ

Криві зростання описують різні тенденції економічних процесів, наприклад, життєвий цикл товару, процес нагромадження капіталу, маркетингові зусилля фірм тощо.

У загальному випадку однофакторну економетричну модель можна подати у вигляді

y=f(x)+

де f(x) - одна з кривих зростання;  - випадкова величина.

Як і у випадку з простою лінійною регресією, основне завдання полягає у розрахунку невідомих параметрів обраної моделі та їх аналізі. Оцінку невідомих параметрів проводять по-різному: експоненційні функції шляхом логаріфмічних перетворень зводять до лінійної регресії, квадратичні функції зводять до багатофакторної регресії, для інших використовують ітеративні методи, метод трьох точок, метод Тейла тощо. Для функцій, які зводяться до лінійної регресії, зберігається методологія дослідження, як для простої лінійної регресії.

У економічній практиці у мікро- та макроекономічних дослідженнях найчастіше використовуються наступні криві зростання:

1. Експоненціальна функція, яка може бути у вигляді

y=^x, основна форма; (3.1)

y=e^b1x,  замінюємо на e^b1x, де b₁=ln(); (3.2)

y=(1-r)^x,  замінюємо на 1-r, де r=-1; (3.3)

y=e^(b0+b1x),  замінюємо на e^b0x та  на e^b1x, де b₀=ln(), b₁=ln(); (3.4)

y=10^a+bx,  замінюємо на 10^a та  на 10^b , де a= ln(); b= ln(). (3.5)

Форма (3.3) найчастіше використовується у фінансах, де r інтерпретується як норма річного відсотка. Тоді капітал С₀, що знаходиться у банку протягом t років дорівнюватиме

C_t=C₀(1+r)^t.

З фоми (3.2) отримується правило 70, тобто значення часу t через який початковий капітал С₀ подвоїть своє значення

C_t=2C₀=C₀e^b1tt=ln(2)/b₁0.6931/b₁0,70/b₁.

Отже капітал подвоїться через 0,70/b₁ років. Правило має назву 70, бо ln2 приблизно дорівнює 0,70.

При виборі інвестеційних проектів зручно порівнювати майбутні витрати та прибутки у вартості поточного року. Заощаджуючи у банку А гривень у поточному році через t років ми отримаємо В гривень

B=Ae^rt (3.6)

Відповідно В гривень, отриманих у t-році коштуватимуть у поточному році

A=Be^-rt (3.7)

Маємо приведені витати В гривень через t років до поточного часу.

Дискретною версією виразу (3.6) є відома формула

B=A(1+r)^t,

а зворотною

A=B/(1+r)^t=B(1+r)^-t.

З дискретною версією легше працювати, коли t є цілим числом, якщо t набуває неперервних значень, перевагу слід віддати (3.6) або (3.7)

Приведені витрати можуть визначатися для потоку платежів. Тоді приведені витрати платежу В₁, який ми мали б через t₁ років, платежу В₂ через t₂ років, платежу В_n через t_n років мають вигляд

A=B₁e^-rt1+ B₂e^-rt2+...+ B_ne^-rtn. (3.8)

Приведені витрати PV довічної ренти А, яка виплачується наприкінці кожного з N років при постійній нормі відсотка r, що нараховується неперервно, дорівнює

PV=Ae^-r1+ Ae^-r2+...+ Ae^-rN =A(e^-r1+ e^-r2+...+ e^-rN). (3.9)

Враховуючи, що

(a+...+aⁿ)(1-a)=a-aⁿ⁺¹,

(a+...+aⁿ) =(a-aⁿ⁺¹)/ (1-a) (3.10)

(3.9) набуває вигляду

PV= (3.11)

Якщо припустити, що N, тоді (3.11) дорівнюватиме

(3.12)

Якщо відсоток нараховується щорічно, то приведену довічну ренту краще подавати у вигляді

PV=A/(1+r)+...+A/(1+r^N)/ (3.13)

Якщо використати (3.10) та покласти a=1/(1+r), n=N, то

PV= (3.14)

Звідси в разі N : .

Експоненційні криві використовуються для опису швидко зростаючих або спадаючих процесів. При цьому, якщо >0 (b₁>0), то функція зростає до нескінченності, а якщо <0 (b₁<0), то функція спадає до нуля. Параметр b можна інтерпретувати як коефіцієнт зростання у часі.

Експоненційні криві зводяться до простої лінійної функції шляхом логарифмічного перетворення

y=^x, (y)=ln()+xln();

y=e^b1x, ln(y)=ln()+b₁x;

y=(1-r)^x, ln(y)=ln()+xln(1-r);

y=e^(b0+b1x), ln(y)=b₀+b₁x;

y=10^a+bx, ln(y)= b₀+b₁x;

2. Степенева (мультиплікативна) функція

y=x^ (3.15)

Для економічних процесів типовим є  0. Якщо - не ціле число, то розглядають лише випадок x0, при цьому залежно від знака  функція описуватиме різні економічні процеси: прискорене зростання>1), уповільнене зростання (0<<1) та спад (<0). Якщо =1, то функція перетворюється на лінійну. Якщо  є цілим парним числом числом =2k, то графік функції у симетричний відносно вісі у (k>0; y[0,+[), а якщо - непарним ( =2k+1_ - то симетричним відносно центру координт (k>0; yR).

Для зведення степеневої функції до лінійної прологарифмуємо (3.15)

lny=ln+lnx

lny=z, ln=₀, lnx=x₁  z=₀+x₁.

Найпоширенішим використанням степеневої функції є виробнича функція Коба-Дугласа, та крива Торнквіста, що описує попит на різні товари та криві байдужості.

>1 0<<1  <0

=1  =2k  =2k+1

3. Зворотні перетворення.

Узагальнена зворотня модель має вигляд

y_i=₀+₁(1/x_i)+_i (3.16)

Вона нелінійна за змінною х, але лінійна за параметрами ₀, ₁, і тому є лінійною регресійною моделлю. Справді, позначивши 1/x_i=z_i, отримаємо

y_i=₀+₁ z_i+_i (3.17)

Вибіркова зворотня модель має вигляд

y=b₀+b₁(1/x) +e (3.18)

Модель (3.18) на відміну від простої лінійної регресії має свої особливості: якщо х прямує до нескінченності, то b₁(1/x)  0, у прямує до граничного значення. Нахил моделі dy/dx=-b₁(1/x_i) є додатним, коли b₁<0, і від`ємним, коли b₁>0.

Прикладом використання зворотних моделей є крива Філіпса, яка дає змогу розрахувати мінімальну заробітну плату, компенсацію за безробіття тощо. Асимптота є границею зміни заробітної плати і пов`язана з параметром b<sub>0</sub>. Точка U<sup>N</sup> є значенням природної норми безробіття. Коли х<U<sup>N</sup>, то норма зміни заробітної плати y додатна, а коли х < U<sup>N</sup> - від`ємна.

Ще одним прикладом є крива витрат Енгеля, яка пов`язує споживчі витрати у на товари із загальними витратами або доходом х. Ця крива для певного товару має такі особливості:

а) критичний рівень доходу, нижче від якого товар не буде куплено -(b₁/b₀);

б) межу насичення, яку не можна збільшити, як би не зростав доход b_0.

y y y

b₀

b₁>0 b₁>0 b₁<0

b₀<0 b₀<0

b₀ 0 x

0 x -b₀ 0 -b₁/b₀ x

y Норма зміни ЗП ( %) y

b₀

Природна норма безробіття b₁<0

Норма безробіття (%) -b₁/b₀

0 x 0 x

U^N

-b₀

4. Квадратичні функції

y=b₀+b₁x+b₂x² (3.19)

Якщо х інтерпретувати як змінну часу t, то (3.19)

y=b₀+b₁t+b₂t² (3.20)

Екстремум функції досягається у точці t=-b₁/2b₂.

Залежно від значень b₁ та b₂ може бути 6 випадків:

4.1 b₂>0, b₁>0: поліпшене зростання. Вершина розташована перед часом 0.

4.2 b₂>0, b₁<-2Tb₂:уповільнений спад. Вершина розташована після часу Т.

4.3. b₂>0, -2Tb₂<b₁>0: класичний випадок - парабола з min.

4.4. b₂<0, b₁<0: прискорений спад. Вершина розташована перед 0.

4.5. b₂<0, b₁>-2Tb₂: уповільнене зростання. Вершина розташована після часу Т.

4.6. b₂<0, 0<b₁<-2Tb₂: класичний випадок - парабола з max.

b b b

0 0 0

T T T

4.1 4.2 4.3

b b b

0 0 0

T T T

4.5 4.4 4.6

Шляхом заміни змінних х₁=t; х₂=t² квадратичну функцію зводять до багатофакторної регресії.

5. Експоненційна модифікована крива (модифікована експонента)

y=^x+ (3.21)

При >1 у спочатку повільно, а потім швидко зростає, і обмежений знизу прямою х=. При <1 у спадає і також обмежений знизу значенням .

Для аналізу цієї кривої потрібно знати значення , бо

ln(y)=ln(^x +) (3.22)

Тоді при відомому  (3.21) набуває вигляду y- =^x, тобто є випадком експоненційної кривої, яку легко отримати замінивши у- =z. У цьому разі невідомі параметри знаходяться шляхом логарифмування і зведення до простої лінійної регресії.

В разі невідомого  необхідно застосовувати методи нелінійного оцінювання, які ми не розглядатимемо.

y y

 

0 x 0 x

Ця крива широко використовується у дослідженнях ринку.

6. Крива Гомперця

y= , 0<b<1 (3.23)

Шляхом логарифмування і подальшої заміни змінних криву Гомперця легко звести до модифікованої експоненти kn(y)=^x+.

Властивості кривої Гомперця:

6.1 При x граничні точки

6.2 Перша похідна

y’=(^x+)’ =ln()^xy.

Її знак збігається із знаком , коли 0<<1 (ln()<0), тобто функція спадає при >0 і зростає при  <0.

6.3 Друга похідна

y’’=ln()[ln()^xy+^xy’]=ln()’[ln()y+ln()^xy]=ln²()^xy(1+^x) .

Її знак збігається із знаком виразу(1+^x). Якщо >0, то функція опукла, а у протилежному випадку <0 функція є s-кривою з перегином у точці 1+^x=0, що відповідає x=ln(-1/ln() y=e^-1+. Точка перегину входить до інтервалу спостережень [1,x] , якщо <-1.

Якщо >0, крива спадає асимптотично до e^. Якщо <0, то вона має вигляд s-кривої, тобто спочатку зростає швидко, а потім повільно.

Такою функцією можна описати процеси з насиченням у демографії, маркетингу, дослідженні ринку, збуту продукції (наприклад, типову еволюцію продажу товару).

y y

>0

e^

e^

0 x 0 x

7. Логістична крива є зворотною функцією до модифікованої експоненти

y=1/(^x+), 0<<1, >0, >0 (3.24)

Ця крива є типовою s-кривою, у якої точка перегину припдає на середину стелі.

Властивості логістичної кривої:

7.1 Асимптоти функції 7.2 Перша похідна ,

y 1/ 1/(2) 0 x

Коли >0, 0<<1 (ln()<0) функція зростає .

7.3 Друга похідна

y’’=ln()[ln()^xy²+^xyy’]=ln²()^xy³(1/y-2^x) =ln²()^xy³(-^x).

Її знак збігається із знаком виразу (-^x). Логістична крива має точку перегину, коли -^x=0, відповідно x=ln()ln(). У цій точці y=1/(2).

Метод трьох точок

Метод трьох точок є спрощеним методом розрахунку невідомих параметрів для кривих зростання (модифікована експонента, логістична крива, крива Гомперця).

Припустимо, що дані є доступними за період t=1, Т і функція має вигляд модифікованої експоненти

y^t+

У випадку кривої Гомперця і логістичної кривої формули адаптуємо через заміну уt на ln(y_t) і (1/y_t).

Алгоритм методу трьох точок:

1. Розділити дані на 3 підмножини з однаковою кількістю елементів.

Якщо T=3, то у 1-ій множині , у 2-ій множині- , у 3-ій множині - ;

Якщо T=3 +1, то у 1-ій множині - , у 2-ій множині-  +1, у 3-ій множині - ;

Якщо T=3 +2, то у 1-ій множині +1, у 2-ій множині- , у 3-ій множині -  +1.

2. Обчислити значення медіан у трьох підмножинах y_I, y_II, y_III.

3. Розв`язати систему з трьома невідомими

y_I=^tI+; (3.25)

y_II=^tII+; (3.26)

y_III=^tIII+; (3.27)

а) визначити різницю між (3.27) і (3.26); (3.26) і (3.25)

y_III-y_II=^tIII-^tII); (3.28)

y_II-y_I=^tII-^tI); (3.29)

б) поділити почленно рівняння (3.28) на (3.29), записавши =t_III-t_II=t_II-t_I

звідки .

в) визначивши , з (3.28) маємо

і з (3.25)

.

Таким чином, усі невідомі параметри оцінені. Інколи для практичних розрахунків можна замінити медіани середніми величинами на етапі 2.

Зв`язок коефіцієнтів еластичності і параметрів кривих зростання

Коефіцієнти еластичності розраховуються за формулою

(dy/y)/(dx/x)=(dy/dx)(x/y).

Для лінійної моделі коефіцієнт еластичності дорівнює b₁(x/y).

Для кривої, яка шляхом логарифмування зводиться до вигляду

lny=b₀+b₁lnx (3.30)

коефіцієнт еластичності є сталим і дорівнює b₁.

Для кривої зростання, яка шляхом логарифмування зводиться до вигляду

lny= b₀+b₁x (3.21)

або

y= b₀+b₁lnx (3.22)

коефіцієнти еластичності відповідно b₁(x), b₁(1/y)

Модель типу (3.30) називається log-linear, модель типу (3.31) називається log-lin, модель типу (3.32) називається lin-log.

Для зворотної моделі коефіцієнт еластичності дорівнює

-b₁(1/(xy)).

Зв`язок між нахилом і коефіцієнтом еластичності для основних моделей наведено у таблиці

Модель	Загальний вигляд	Нахил (=dy/dx)	Коефіцієнт еластичності (=dy/dxx/y)
Лінійна	y=b0+b1x	b1	b1(y/x)
log-linear	lny=b0+b1lnx	b1(y/x)	b1
log-lin	lny=b0+b1x	b1(y)	b1(x)*
lin-log	y=b0+b1lnx	b1(1/x)	b1(1/y)*
Зворотня	y=b0+b1(1/x)	_ b1(1/x2)*	_ b1(1/xy)*

На практиці коефіцієнт еластичності часто розраховують через середні значення х та у.

ЛЕКЦІЯ 5

ОСОБЛИВІ ВИПАДКИ У БАГАТОФАКТОРНОМУ РЕГРЕСІЙНОМУ АНАЛІЗІ