2.2. Методика решения задач лп графическим методом

В ограничениях задачи заменить знаки неравенств знаками точных равенств и построить соответствующие прямые.

Найти и заштриховать полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи. Для этого нужно подставить в конкретное неравенство координаты какой-либо точки [например, (0;0)], и проверить истинность полученного неравенства.

Если  неравенство истинное,

то    надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку;

иначе (неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку.

Поскольку x₁ и x₂ должны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться выше оси Ox₁ и правее оси Ox₂ , т.е. в I-м квадранте.

Ограничения-равенства разрешают только те точки, которые лежат на соответствующей прямой. Поэтому необходимо выделить на графике такие прямые.

Определить ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделить ее. При отсутствии ОДР задача не имеет решений.

Если ОДР – не пустое множество, то нужно построить целевую прямую, т.е. любую из линий уровня c₁x₁+c₂x₂=L (где L – произвольное число, например, кратное c₁ и c₂, т.е. удобное для проведения расчетов). Способ построения аналогичен построению прямых ограничений.

Построить вектор C̅=(c₁, c₂), который начинается в точке (0;0) и заканчивается в точке (c₁, c₂). Если целевая прямая и вектор C̅ построены верно, то они будут перпендикулярны.

При поиске максимума ЦФ необходимо передвигать целевую прямую в направлении вектора C̅, при поиске минимума ЦФ – против направления вектора C̅. Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой максимума или минимума ЦФ. Если такой точки (точек) не существует, то можно сделать вывод о неограниченности ЦФ на множестве планов сверху (при поиске максимума) или снизу (при поиске минимум).

Определить координаты точки max (min) ЦФ x=(x₁ , x₂)и вычислить значение ЦФ L(x). Для вычисления координат оптимальной точки x необходимо решить систему уравнений прямых, на пересечении которых находится x.

Задача 1

Решение.

Приводим задачу к каноническому виду. Для этого в левую часть правого ограничения вводим дополнительные переменные Х₄ , Х₅ и Х₆ с коэффициентом +1. В целевую функцию переменные Х₄ , Х₅ и Х₆ входят с коэффициентом 0.

Получим:

Находим начальное опорное решение. Для этого свободные переменные приравниваем к 0.

Получаем опорное решение.

С единичным базисом Б_1.

Вычисляем оценки разложения векторов условий по базису опорного решения по формуле.

:

С_б = (с₁, с₂, ... , с_m ) — вектор коэффициентов целевой функции при базисных переменных

X_k = (x_1k, x_2k, ... , x_mk ) — вектор разложения соответствующего вектора А_k по базису опорного решения

С_k — коэффициент целевой функции при переменной х_k.

Оценки векторов входящих в базис всегда равны нулю. Опорное решение, коэффициенты разложений и оценки разложений векторов условий по базису опорного решения записываются в симплексную таблицу:

			47	39	36	0	0	0
Б	Сб	А0	А1	А2	А3	А4	А5	А6	D1
A4	0	816	336	256	316	1	0	0	2.4
A5	0	716	186	146	126	0	1	0	4
A6	0	916	396	456	466	0	0	1	2.3
		0	-47	-39	-36	0	0	0

Сверху над таблицей для удобства вычислений оценок записываются коэффициенты целевой функции. В первом столбце "Б" записываются векторы, входящие в базис опорного решения. Порядок записи этих векторов соответствует номерам разрешенных неизвестных в уравнениях ограничениях. Во втором столбце таблицы "С_б" записываются коэффициенты целевой функции при базисных переменных в том же порядке. При правильном расположении коэффициентов целевой функции в столбце "С_б" оценки единичных векторов, входящих в базис, всегда равных нулю.

В последней строке таблицы с оценками Δk в столбце "А₀" записываются значения целевой функции на опорном решении Z(X₁).

Начальное опорное решение не является оптимальным, так как в задаче на максимум оценки Δ1 = -47, Δ2= -39, Δ3= -36 для векторов А_1, А₂ и А₃ отрицательные.

По теореме об улучшении опорного решения, если в задаче на максимум хотя бы один вектор имеет отрицательную оценку, то можно найти новое опорное решение, на котором значение целевой функции будет больше.

Определим, введение какого из двух векторов приведет к большему приращению целевой функции.

Приращение функции находится по формуле:

Вычислим значение D по формуле:

Полученные значения записываем в таблицу.

Находим приращение целевой функции при введении в базис первого вектора

Следовательно, для более быстрого приближения к оптимальному решению необходимо ввести в базис опорного решения вектор А₁ вместо первого вектора базиса А₆, так как минимум параметра D₀₁ достигается в третьей строке .

Производим преобразование Жордана с элементом Х₃₁ =396 , получаем второе опорное решение Х2 = (2.3;0;0;43.2;288.2;0) с базисом Б2 = (А₄, А₅, А₁).

			47	39	36	0	0	0
Б	Сб	А0	А1	А2	А3	А4	А5	А6
A4	0	43.2	0	-130.4	-80.48	1	0	-0.84
A5	0	288.2	0	-67.9	-93.48	0	1	-0.465
A1	47	2.3	1	1.15	1.18	0	0	0.0025
		108.1	0	15.05	19.46	0	0	0.1175

Это решение является единственным оптимальным, так как для всех векторов, не входящих в базис оценки положительные

Δ₂ = 15.05, Δ₃ = 19.46, Δ₆ = 0.1175.

Ответ: max f(X)=108.1 при Х=(2.3;0;0;43.2;288.2;0)