§3. Эквивалентные состояния автоматов.

В этом параграфе мы решим следующую задачу: по данному описанию автомата построить новый автомат , который покрывает (возможно, эквивалентен ) и имеет наименьшее число состояний среди всех автоматов, покрывающих .

Существует эффективный метод решения этой задачи, если функции всюду определены. Для этого сначала определяют эквивалентные состояния автомата, а затем склеивают все эквивалентные состояния в одно.

Определение 1: Состояния и называются - эквивалентными, если для всякой входной строки длины имеем: . В этом случае будем писать: . Если , то будем говорить, что состояния и эквивалентны, и писать: .

Заметим, что и – действительно отношение эквивалентности. Классы эквивалентности относительно , являются множествами всех пар состояний, перерабатывающих каждый входной символ в фиксированный выходной символ . Это означает, что . Обозначим через отношения эквивалентности (т.е. множество всех пар эквивалентных состояний). Обозначим через дополнение к , т.е. .

Пусть, например, даны таблицы состояний автоматов и :

Текущее состояние	ν 0 1	ξ 0 1
S0 S1 S2	S2 S1 S0 S2 S0 S1	0 1 1 0 0 1

Текущее состояние	 0 1	 0 1
S0 S1	S0 S1 S0 S0	0 1 1 0

G (E₁) = {(S₀, S₂), (S₂, S₀), (S₀, S₀), (S₁, S₁), (S₂, S₂)},

G (E₁) = {(S₀, S₁), (S₁, S₀), (S₁, S₂), (S_2, S₁)}.

Задача минимизации количества состояний в полностью описанном автомате сводится к определению попарно эквивалентных состояний и последующему их склеиванию.

Оказывается, что эффективнее всего начать с выявления неэквивалентных состояний. Чтобы показать это, определим новые функции и .

Определение 2: Положим: . Это означает, что есть последнее состояние автомата, начавшего работу в состоянии , прочитавшего входную строку длины . Положим далее: . Это означает, что есть последний символ выходной строки автомата, начавшего работать в состоянии и считавшего ту же входную строку .

Теорема 1: Если , то либо , либо для подходящей строки имеем .

Доказательство: Утверждение означает, что для подходящей строки . При необходимости мы можем укоротить входную строку так, чтобы входные строки, отвечающие и , отличались только последними символами. Пусть это уже сделано. Если после этого , то . Если же , то . Но при условии . Таким образом, последние выходные символы автомата, считавшего , различны, если он исходил из начальных состояний и соответственно. Чтобы выходы отличались, то есть должно быть выполнено условие: . Иначе последний входной символ даст один и тот же символ на выходе.

Теорема 2: Если , но для всех , то для подходящего элемента .

Эту теорему можно переформулировать так: если , то для подходящего элемента имеем: . Эта теорема утверждает, что состояния и , эквивалентные относительно всех входных последовательностей длины , могут стать неэквивалентными относительно последовательностей длины только в том случае, когда имеется символ , переводящий и соответственно в состояния , не эквивалентные относительно подходящей входной последовательности длины . Это означает, что на шаге достаточно исследовать состояния в и установить, найдется ли пара , переходящая в пару со свойством . В этом случае .

Если мы уже определили , то состоит из и таких упорядоченных пар , что для некоторого имеем: . В общем случае нужно исследовать каждый раз только . Таким способом мы сумеем рекуррентно определить и, наконец, - дополнение к в булевой алгебре подмножеств .

Доказательство: Доказательство теоремы проводится непосредственно. Если пара лежит в , то она лежит в . Значит нужно рассмотреть лишь такие пары , что для некоторой строки имеем , а для всех строк имеем . Но в точности те пары, которые переводятся в , -м входным символом и стало быть, в , некоторым символом .

Лемма: Если , то для всех .

Действительно, дальнейшие шаги не добавят новых пар состояний, т.к. согласно теореме 2, дополнение состоит из тех пар, которые переводятся подходящим символом в дополнение .

Пример: Пусть задана таблица состояний некоторого автомата.

Текущее состояние	След. состояние 0 1	Выход 0 1
S1	S1 S2	1 0
S2	S1 S3	1 0
S3	S5 S1	1 0
S4	S4 S2	1 0
S5	S4 S3	1 1

Для этого автомата .

Иными словами: . Первое разбиение на классы эквивалентности: , . Вход 0 переводит в состояние , в : , . Поэтому вход 01 дает Следующие результаты:

и .

Отсюда и . Аналогично: и , так что имеет место условие:

.

Далее, входной символ 1 переводит состояние в , а переводит в состояние . Другими словами: и . Поэтому , т.к. и . Аналогично: , откуда следует:

.

Таким образом, разбивает на классы эквивалентности:

, , , .

Дальнейший перебор показывает, что . Таким образом, и , а остальные пары состояний неэквивалентны.