Обоснование алгоритма.
Докажем, что после конечного числа применений правила 3° для каждой дуги графа станет справедливым неравенство .
Для этого заметим,
что на любом этапе метки
при
,
а метка
,
что можно доказать по индукции. В самом
деле, при первом применении правила 3°
будет изменена метка
у одной из вершин
,
смежных с вершиной
.
Эта вершина
получит новую метку
.
Предположим, что
после того, как применено правило 3°
раз
,
станет справедливым утверждение, что
для
.
На
шаге какая-то вершина
получит новую метку
.
Но в силу предположения индукции
,
кроме того,
;
поэтому
.
Ясно, что при каждом изменении метка вершины графа уменьшается на положительную величину, не меньшую, чем минимальная разность длин путей графа.
Из этих двух утверждений вытекает, что метка-любой вершины графа может изменяться лишь конечное число раз. Так как вершин конечное множество, то правило 3° может применяться лишь конечное число раз.
Докажем теперь
утверждения, содержащиеся в пункте 5°.
Вершина
такая, что
обязательно найдется в случае, если
существует хотя бы один путь, соединяющий
с
вершиной
.
Ибо тогда, как нетрудно сообразить,
метка
.
Поэтому
—
это, например, та вершина, которая
послужила для изменения метки
в последний раз. Аналогично доказывается
существование вершин
.
По условию дуги
графа имеют положительную длину, поэтому
метки
образуют строго убывающую последовательность
неотрицательных чисел, отличающихся
друг от друга на величину, большую или
равную длине кратчайшей дуги графа.
Следовательно, какое-то
.
(Вершина
выделена тем, что ей в силу правила 2°
с самого начала присвоена метка
и в формировании этой метки не участвуют
дуги графа.)
Докажем, что путь
— кратчайший. Для этого рассмотрим
произвольный путь:
,
соединяющий решину
с
.
Имеем неравенства:
Складывая эти неравенства, получаем соотношение:
,
так как . В то же время, по построению пути имеем:
,
откуда
.
Пример.
В графе
(рис. 9) легко установить, что кратчайший
путь, соединяющий вершины
и
,
имеет длину
.
2. Алгоритм построения Эйлерова цикла.
Обратимся к задаче об эйлеровом цикле, уже рассмотренной нами в предыдущем параграфе. Пусть — связный граф, степени всех вершин которого — четные числа. Теорема 1 §2 гарантирует существование эйлерова цикла.
Как фактически построить его? Оказывается, что достаточно выполнять следующие правила.
Алгоритм.
1°. Выбрать произвольно некоторую вершину .
2°. Выбрать произвольно некоторое ребро , инцидентное , и присвоить ему номер 1. (Назовем это ребро «пройденным».)
3°. Каждое пройденное ребро вычеркивать и присваивать ему номер, на единицу больший номера предыдущего вычеркнутого ребра.
4°. Находясь в вершине , не выбирать ребра, соединяющего с вершиной , если только есть возможность другого выбора.
5°. Находясь в вершине , не выбирать ребра, которое является «перешейком» (при удалении которого граф, образованный незачеркнутыми ребрами, распадается на две компоненты связности, имеющие хотя бы по одному ребру).
6°.
После того, как в графе будут занумерованы
все ребра, цикл
,
образованный ребрами с номерами от 1 до
,
где число ребер в графе, есть эйлеров
цикл.